Методическое пособие
к предметной линии учебников по алгебре
Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова и др.
2-е издание, стереотипное
Москва
«Просвещение»
2023
УДК 373.5.016:512
ББК 74.262.21
М34
М34
Математика. Алгебра : 7—9-е классы : базовый уровень : методическое пособие к
предметной линии учебников по алгебре Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова и др./ —
2 е изд., стер. — Москва : Просвещение, 2023. — 54 с.
ISBN 978-5-09-108879-3.
Пособие предназначено учителям, ведущим преподавание по УМК «Алгебра. 7 класс»,
«Алгебра. 8 класс», «Алгебра. 9 класс» Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова,
С. Б. Суворовой под редакцией С. А. Теляковского. В книге раскрываются содержательные и
методические особенности курса алгебры 7—9 классов, приводятся общие методические
рекомендации. Также в него включена примерная рабочая программа по учебному предмету
«Математика» для 7—9 классов и планирование изучения учебного курса «Алгебра».
УДК 373.5.016:512
ББК 74.262.21
ISBN 978-5-09-108879-3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Обучение математике является важнейшей составляющей основного общего
образования и призвано развивать логическое мышление и математическую интуицию
учащихся. Усвоенные в курсе математики основной школы знания и способы действий
обеспечивают овладение учащимися умениями в решении различных практических и
межпредметных задач в повседневной жизни.
Практическая значимость школьного курса алгебры обусловлена тем, что её
объектом являются количественные отношения действительного мира. Математическая
подготовка необходима для понимания принципов устройства и использования
современной техники, восприятия научных и технических понятий и идей. Математика
является языком науки и техники. С её помощью моделируются и изучаются явления и
процессы, происходящие в природе.
В учебно-методический комплект «Алгебра» Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К.
И. Нешкова, С. Б. Суворовой для 7 — 9 классов входят:
рабочие программы;
учебник «Математика. Алгебра. 7 класс» в бумажной и электронной формах;
учебник «Математика. Алгебра. 8 класс» в бумажной и электронной формах;
учебник «Математика. Алгебра. 9 класс» в бумажной и электронной формах;
методическое пособие для учителя;
дидактические материалы;
рабочие тетради;
тематические тесты;
контрольные и самостоятельные работы.
Алгебра является одним из опорных предметов основной школы: она обеспечивает
изучение других дисциплин. В первую очередь это относится к предметам естественнонаучного цикла, в частности к физике. Развитие логического мышления учащихся при
обучении алгебре способствует усвоению предметов гуманитарного цикла. Практические
умения и навыки алгебраического характера необходимы для трудовой и
профессиональной подготовки школьников.
Требуя от учащихся умственных и волевых усилий, концентрации внимания,
активности развитого воображения, алгебра развивает нравственные черты личности
(настойчивость, целеустремлённость, творческую активность, самостоятельность, от
ответственность, трудолюбие, дисциплину и критичность мышления) и умение
аргументированно отстаивать свои взгляды и убеждения, а также способность принимать
самостоятельные решения.
Изучение алгебры позволяет формировать умения и навыки умственного труда —
планирование своей работы, поиск рациональных путей её выполнения, критическую
оценку результатов. В процессе изучения алгебры школьники должны научиться излагать
свои мысли ясно и исчерпывающе, лаконично и ёмко, приобрести навыки чёткого,
аккуратного и грамотного выполнения математических записей.
Важнейшей задачей школьного курса алгебры является развитие логического
мышления учащихся. Сами объекты математических умозаключений и принятые в
алгебре правила их конструирования способствуют формированию умений обосновывать
и доказывать суждения, приводить чёткие определения, развивают логическую интуицию,
кратко и наглядно раскрывают механизм логических построений и учат их применению.
Тем самым алгебра занимает одно из ведущих мест в формировании научнотеоретического мышления школьников. Раскрывая внутреннюю гармонию математики,
формируя понимание красоты и изящества математических рассуждений, алгебра вносит
значительный вклад в эстетическое воспитание учащихся.
ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
Алгебра является одним из опорных курсов основной школы: она обеспечивает
изучение других дисциплин, как естественнонаучного, так и гуманитарного циклов, её
освоение необходимо для продолжения образования и в повседневной жизни. Развитие у
обучающихся научных представлений о происхождении и сущности алгебраических
абстракций, способе отражения математической наукой явлений и процессов в природе и
обществе, роли математического моделирования в научном познании и в практике
способствует формированию научного мировоззрения и качеств мышления, необходимых
для адаптации в современном цифровом обществе.
Изучение алгебры естественным образом обеспечивает развитие умения
наблюдать, сравнивать, находить закономерности, требует критичности мышления,
способности аргументированно обосновывать свои действия и выводы, формулировать
утверждения. Освоение курса алгебры обеспечивает развитие логического мышления
обучающихся: они используют дедуктивные и индуктивные рассуждения, обобщение и
конкретизацию, абстрагирование и аналогию. Обучение алгебре предполагает
значительный
объём
самостоятельной
деятельности
обучающихся,
поэтому
самостоятельное решение задач естественным образом является реализацией
деятельностного принципа обучения.
ОСНОВНЫЕ ЛИНИИ КУРСА
В структуре программы учебного курса «Алгебра» основной школы основное
место занимают содержательно-методические линии: «Числа и вычисления»;
«Алгебраические выражения»; «Уравнения и неравенства»; «Функции». Каждая из этих
содержательно-методических линий развивается на протяжении трёх лет изучения курса,
естественным образом переплетаясь и взаимодействуя с другими его линиями. В ходе
изучения курса обучающимся приходится логически рассуждать, использовать теоретикомножественный язык.
В связи с этим целесообразно включить в программу некоторые основы логики,
пронизывающие все основные разделы математического образования и способствующие
овладению обучающимися основ универсального математического языка. Таким образом,
можно утверждать, что содержательной и структурной особенностью курса «Алгебра»
является его интегрированный характер.
Содержание линии «Числа и вычисления» служит основой для дальнейшего
изучения математики, способствует развитию у обучающихся логического мышления,
формированию умения пользоваться алгоритмами, а также приобретению практических
навыков, необходимых для повседневной жизни. Развитие понятия о числе в основной
школе связано с рациональными и иррациональными числами, формированием
представлений о действительном числе. Завершение освоения числовой линии отнесено к
старшему звену общего образования.
Содержание двух алгебраических линий — «Алгебраические выражения» и
«Уравнения и
неравенства» способствует
формированию
у обучающихся
математического аппарата, необходимого для решения задач математики, смежных
предметов и практико-ориентированных задач. В основной школе учебный материал
группируется вокруг рациональных выражений. Алгебра демонстрирует значение
математики как языка для построения математических моделей, описания процессов и
явлений реального мира. В задачи обучения алгебре входят также дальнейшее развитие
алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения курса
информатики, и овладение навыками дедуктивных рассуждений. Преобразование
символьных форм вносит свой специфический вклад в развитие воображения,
способностей к математическому творчеству.
Содержание функционально-графической линии нацелено на получение
школьниками знаний о функциях как важнейшей математической модели для описания и
исследования разнообразных процессов и явлений в природе и обществе. Изучение этого
материала способствует развитию у обучающихся умения использовать различные
выразительные средства языка математики — словесные, символические, графические.
Он вносит вклад в формирование представлений о роли математики в развитии
цивилизации и культуры.
МЕСТО УЧЕБНОГО КУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
Согласно учебному плану в 7—9 классах изучается учебный курс «Алгебра»,
который включает следующие основные разделы содержания: «Числа и вычисления»,
«Алгебраические выражения», «Уравнения и неравенства», «Функции».
Учебный план на изучение алгебры в 7—9 классах отводит не менее 3 учебных
часов в неделю в течение каждого года обучения, всего за три года обучения — не менее
306 учебных часов.
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
7 класс
Числа и вычисления
Рациональные числа
Дроби обыкновенные и десятичные, переход от одной формы записи дробей к
другой. Понятие рационального числа, запись, сравнение, упорядочивание рациональных
чисел. Арифметические действия с рациональными числами. Решение задач из реальной
практики на части, на дроби.
Степень с натуральным показателем: определение, преобразование выражений на
основе определения, запись больших чисел.
Проценты, запись процентов в виде дроби и дроби в виде процентов. Три основные
задачи на проценты, решение задач из реальной практики.
Применение признаков делимости, разложение на множители натуральных чисел.
Реальные зависимости, в том числе прямая и обратная пропорциональности.
Алгебраические выражения
Переменные, числовое значение выражения с переменной. Допустимые значения
переменных. Представление зависимости между величинами в виде формулы.
Вычисления по формулам.
Преобразование буквенных выражений, тождественно равные выражения, правила
преобразования сумм и произведений, правила раскрытия скобок и приведения подобных
слагаемых.
Свойства степени с натуральным показателем.
Одночлены и многочлены. Степень многочлена. Сложение, вычитание, умножение
многочленов. Формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности.
Формула разности квадратов. Разложение многочленов на множители.
Уравнения
Уравнение, корень уравнения, правила преобразования уравнения, равносильность
уравнений.
Линейное уравнение с одной переменной, число корней линейного уравнения,
решение линейных уравнений. Составление уравнений по условию задачи. Решение
текстовых задач с помощью уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Система двух линейных
уравнений с двумя переменными. Решение систем уравнений способом подстановки.
Примеры решения текстовых задач с помощью систем уравнений.
Координаты и графики. Функции
Координата точки на прямой. Числовые промежутки. Расстояние между двумя
точками координатной прямой.
Прямоугольная система координат, оси Ox и Oy. Абсцисса и ордината точки на
координатной плоскости. Примеры графиков, заданных формулами. Чтение графиков
реальных зависимостей.
Понятие функции. График функции. Свойства функций. Линейная функция, её
график. График функции y = |𝑥|. Графическое решение линейных уравнений и систем
линейных уравнений.
8 класс
Числа и вычисления
Квадратный корень из числа. Понятие об иррациональном числе. Десятичные
приближения иррациональных чисел. Свойства арифметических квадратных корней и их
применение к преобразованию числовых выражений и вычислениям. Действительные
числа.
Степень с целым показателем и её свойства. Стандартная запись числа.
Алгебраические выражения
Квадратный трёхчлен; разложение квадратного трёхчлена на множители.
Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби. Сложение,
вычитание, умножение, деление алгебраических дробей. Рациональные выражения и их
преобразование.
Уравнения и неравенства
Квадратное уравнение, формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета.
Решение уравнений, сводящихся к линейным и квадратным. Простейшие дробнорациональные уравнения.
Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и систем линейных
уравнений с двумя переменными. Примеры решения систем нелинейных уравнений с
двумя переменными.
Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Числовые неравенства и их свойства. Неравенство с одной переменной.
Равносильность неравенств. Линейные неравенства с одной переменной. Системы
линейных неравенств с одной переменной.
Функции
Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Способы
задания функций.
График функции. Чтение свойств функции по её графику. Примеры графиков
функций, отражающих реальные процессы.
Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их
графики. Функции y = x2, y = x3, y = √𝑥, y = |𝑥|. Графическое решение уравнений и систем
уравнений.
9 класс
Числа и вычисления
Действительные числа
Рациональные числа, иррациональные числа, конечные и бесконечные десятичные
дроби. Множество действительных чисел; действительные числа как бесконечные
десятичные дроби.
Взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и
координатной прямой. Сравнение действительных чисел, арифметические действия с
действительными числами.
Измерения, приближения, оценки
Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем
мире.
Приближённое значение величины, точность приближения. Округление чисел.
Прикидка и оценка результатов вычислений.
Уравнения и неравенства
Уравнения с одной переменной
Линейное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к линейным.
Квадратное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к квадратным.
Биквадратное уравнение. Примеры решения уравнений третьей и четвёртой степеней
разложением на множители.
Решение дробно-рациональных уравнений.
Решение текстовых задач алгебраическим методом.
Системы уравнений
Уравнение с двумя переменными и его график. Решение систем двух линейных
уравнений с двумя переменными. Решение систем двух уравнений, одно из которых
линейное, а другое — второй степени. Графическая интерпретация системы уравнений с
двумя переменными.
Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Неравенства
Числовые неравенства и их свойства.
Решение линейных неравенств с одной переменной. Решение систем линейных
неравенств с одной переменной. Квадратные неравенства. Графическая интерпретация
неравенств и систем неравенств с двумя переменными.
Функции
Квадратичная функция, её график и свойства. Парабола, координаты вершины
параболы, ось симметрии параболы.
𝑘
Графики функций: y = kx, y = kx + b, y = 𝑥 , y = x3, y = √𝑥, y = |𝑥| и их свойства.
Числовые последовательности
Определение и способы задания числовых последовательностей
Понятие числовой последовательности. Задание последовательности рекуррентной
формулой и формулой n-го члена.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена
арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов.
Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий точками на
координатной плоскости. Линейный и экспоненциальный рост. Сложные проценты.
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКА
Освоение учебного предмета «Математика» обеспечивает достижение на уровне
основного общего образования следующих личностных, метапредметных и предметных
образовательных результатов:
Личностные результаты
характеризуются:
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
освоения программы учебного
предмета
«Математика»
Патриотическое воспитание:
проявлением интереса к прошлому и настоящему российской математики, ценностным
отношением к достижениям российских математиков и российской математической
школы, к использованию этих достижений в других науках и прикладных сферах.
Гражданское и духовно-нравственное воспитание:
готовностью к выполнению обязанностей гражданина и реализации его прав,
представлением о математических основах функционирования различных структур,
явлений, процедур гражданского общества (выборы, опросы и пр.); готовностью к
обсуждению этических проблем, связанных с практическим применением достижений
науки, осознанием важности морально-этических принципов в деятельности учёного.
Трудовое воспитание:
установкой на активное участие в решении практических задач математической
направленности, осознанием важности математического образования на протяжении всей
жизни для успешной профессиональной деятельности и развитием необходимых умений;
осознанным выбором и построением индивидуальной траектории образования и
жизненных планов с учётом личных интересов и общественных потребностей.
Эстетическое воспитание:
способностью к эмоциональному и эстетическому восприятию математических объектов,
задач, решений, рассуждений; умению видеть математические закономерности в
искусстве.
Ценности научного познания:
ориентацией в деятельности на современную систему научных представлений об
основных закономерностях развития человека, природы и общества, пониманием
математической науки как сферы человеческой деятельности, этапов её развития и
значимости для развития цивилизации; овладением языком математики и математической
культурой как средством познания мира; овладением простейшими навыками
исследовательской деятельности.
Физическое воспитание, формирование культуры здоровья и эмоционального
благополучия:
готовностью применять математические знания в интересах своего здоровья, ведения
здорового образа жизни (здоровое питание, сбалансированный режим занятий и отдыха,
регулярная физическая активность); сформированностью навыка рефлексии, признанием
своего права на ошибку и такого же права другого человека.
Экологическое воспитание:
ориентацией на применение математических знаний для решения задач в области
сохранности окружающей среды, планирования поступков и оценки их возможных
последствий для окружающей среды; осознанием глобального характера экологических
проблем и путей их решения.
Личностные
результаты,
обеспечивающие
адаптацию
обучающегося
к
изменяющимся условиям социальной и природной среды:
готовностью к действиям в условиях неопределённости, повышению уровня своей
компетентности через практическую деятельность, в том числе умение учиться у других
людей, приобретать в совместной деятельности новые знания, навыки и компетенции из
опыта других; необходимостью в формировании новых знаний, в том числе
формулировать идеи, понятия, гипотезы об объектах и явлениях, в том числе ранее не
известных, осознавать дефициты собственных знаний и компетентностей, планировать
своё развитие; способностью осознавать стрессовую ситуацию, воспринимать стрессовую
ситуацию как вызов, требующий контрмер, корректировать принимаемые решения и
действия, формулировать и оценивать риски и последствия, формировать опыт.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Метапредметные результаты освоения программы учебного предмета «Математика»
характеризуются
овладением
универсальными
познавательными
действиями,
универсальными коммуникативными действиями и универсальными регулятивными
действиями.
1) Универсальные познавательные действия обеспечивают формирование базовых
когнитивных процессов обучающихся (освоение методов познания окружающего мира;
применение логических, исследовательских операций, умений работать с информацией).
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов,
понятий, отношений между понятиями; формулировать определения понятий;
устанавливать существенный признак классификации, основания для обобщения и
сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и
отрицательные, единичные, частные и общие; условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах,
данных, наблюдениях и утверждениях; предлагать критерии для выявления
закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных
умозаключений, умозаключений по аналогии;
разбирать доказательства математических утверждений (прямые и от противного),
проводить самостоятельно несложные доказательства математических фактов,
выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры; обосновывать
собственные рассуждения;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов
решения, выбирать наиболее подходящий с учётом самостоятельно выделенных
критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать
вопросы
как
исследовательский
инструмент
познания;
формулировать вопросы, фиксирующие противоречие, проблему, самостоятельно
устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу, аргументировать свою
позицию, мнение; проводить по самостоятельно составленному плану несложный
эксперимент, небольшое исследование по установлению особенностей
математического объекта, зависимостей объектов между собой;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведённого
наблюдения, исследования, оценивать достоверность полученных результатов,
выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения о
его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять недостаточность и избыточность информации, данных, необходимых для
решения задачи;
выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать информацию
различных видов и форм представления;
выбирать форму представления информации и иллюстрировать решаемые задачи
схемами, диаграммами, иной графикой и их комбинациями;
оценивать надёжность информации по критериям, предложенным учителем или
сформулированным самостоятельно.
2) Универсальные коммуникативные действия обеспечивают сформированность
социальных навыков обучающихся.
Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями
общения; ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и
письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать
полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы,
решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения; сопоставлять
свои суждения с суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и
сходство позиций; в корректной форме формулировать разногласия, свои
возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта;
самостоятельно выбирать формат выступления с учётом задач презентации и
особенностей аудитории.
Сотрудничество:
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при
решении учебных математических задач; принимать цель совместной
деятельности, планировать организацию совместной работы, распределять виды
работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы; обобщать мнения
нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнениями, мозговые
штурмы и др.); выполнять свою часть работы и координировать свои действия с
другими членами команды; оценивать качество своего вклада в общий продукт по
критериям, сформулированным участниками взаимодействия.
3) Универсальные регулятивные действия обеспечивают формирование смысловых
установок и жизненных навыков личности.
Самоорганизация:
самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его часть),
выбирать способ решения с учётом имеющихся ресурсов и собственных
возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений с учётом
новой информации.
Самоконтроль:
владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения
математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить
коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, найденных ошибок,
выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и условиям,
объяснять причины достижения или недостижения цели, находить ошибку, давать
оценку приобретённому опыту.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Предметные результаты освоения Примерной рабочей программы по математике
представлены по годам обучения в следующих разделах программы в рамках отдельных
курсов: в 5—6 классах — курса «Математика», в 7—9 классах — курсов «Алгебра»,
«Геометрия», «Вероятность и статистика».
Развитие логических представлений и навыков логического мышления
осуществляется на протяжении всех лет обучения в основной школе в рамках всех
названных курсов. Предполагается, что выпускник основной школы сможет строить
высказывания и отрицания высказываний, распознавать истинные и ложные
высказывания, приводить примеры и контрпримеры, овладеет понятиями: определение,
аксиома, теорема, доказательство — и научится использовать их при выполнении учебных
и внеучебных задач.
Освоение учебного курса «Алгебра» на уровне основного общего образования должно
обеспечивать достижение следующих предметных образовательных результатов:
7 класс
Числа и вычисления
Выполнять, сочетая устные и письменные приёмы, арифметические действия с
рациональными числами.
Находить значения числовых выражений; применять разнообразные способы и
приёмы вычисления значений дробных выражений, содержащих обыкновенные и
десятичные дроби.
Переходить от одной формы записи чисел к другой (преобразовывать десятичную
дробь в обыкновенную, обыкновенную в десятичную, в частности в бесконечную
десятичную дробь).
Сравнивать и упорядочивать рациональные числа.
Округлять числа.
Выполнять прикидку и оценку результата вычислений, оценку значений числовых
выражений.
Выполнять действия со степенями с натуральными показателями.
Применять признаки делимости, разложение на множители натуральных чисел.
Решать практико-ориентированные задачи, связанные с отношением величин,
пропорциональностью величин, процентами; интерпретировать результаты решения
задач с учётом ограничений, связанных со свойствами рассматриваемых объектов.
Алгебраические выражения
Использовать алгебраическую терминологию и символику, применять её в процессе
освоения учебного материала.
Находить значения буквенных выражений при заданных значениях переменных.
Выполнять преобразования целого выражения в многочлен приведением подобных
слагаемых, раскрытием скобок.
Выполнять умножение одночлена на многочлен и многочлена на многочлен,
применять формулы квадрата суммы и квадрата разности.
Осуществлять разложение многочленов на множители с помощью вынесения за
скобки общего множителя, группировки слагаемых, применения формул
сокращённого умножения.
Применять преобразования многочленов для решения различных задач из математики,
смежных предметов, из реальной практики.
Использовать свойства степеней с натуральными показателями для преобразования
выражений.
Уравнения и неравенства
Решать линейные уравнения с одной переменной, применяя правила перехода от
исходного уравнения к равносильному ему. Проверять, является ли число корнем
уравнения.
Применять графические методы при решении линейных уравнений и их систем.
Подбирать примеры пар чисел, являющихся решением линейного уравнения с двумя
переменными.
Строить в координатной плоскости график линейного уравнения с двумя
переменными; пользуясь графиком, приводить примеры решения уравнения.
Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными, в том числе
графически.
Составлять и решать линейное уравнение или систему линейных уравнений по
условию задачи, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный
результат.
Координаты и графики. Функции
Изображать на координатной прямой точки, соответствующие заданным координатам,
лучи, отрезки, интервалы; записывать числовые промежутки на алгебраическом языке.
Отмечать в координатной плоскости точки по заданным координатам; строить
графики линейных функций. Строить график функции y = |𝑥|.
Описывать с помощью функций известные зависимости между величинами: скорость,
время, расстояние; цена, количество, стоимость; производительность, время, объём
работы.
Находить значение функции по значению её аргумента.
Понимать графический способ представления и анализа информации; извлекать и
интерпретировать информацию из графиков реальных процессов и зависимостей.
8 класс
Числа и вычисления
Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для
сравнения, округления и вычислений; изображать действительные числа точками на
координатной прямой.
Применять понятие арифметического квадратного корня; находить квадратные корни,
используя при необходимости калькулятор; выполнять преобразования выражений,
содержащих квадратные корни, используя свойства корней.
Использовать записи больших и малых чисел с помощью десятичных дробей и
степеней числа 10.
Алгебраические выражения
Применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования
выражений, содержащих степени с целым показателем.
Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе
правил действий над многочленами и алгебраическими дробями.
Раскладывать квадратный трёхчлен на множители.
Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики,
смежных предметов, из реальной практики.
Уравнения и неравенства
Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к
ним, системы двух уравнений с двумя переменными.
Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с
применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или
система уравнений решения, если имеет, то сколько, и пр.).
Переходить от словесной формулировки задачи к её алгебраической модели с
помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в
соответствии с контекстом задачи полученный результат.
Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки; решать линейные
неравенства с одной переменной и их системы; давать графическую иллюстрацию
множества решений неравенства, системы неравенств.
Функции
Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические
обозначения); определять значение функции по значению аргумента; определять
свойства функции по её графику.
𝑘
Строить графики элементарных функций вида y = 𝑥 , y = x2, y = x3, y = √𝑥, y = |𝑥|;
описывать свойства числовой функции по её графику.
9 класс
Числа и вычисления
Сравнивать и упорядочивать рациональные и иррациональные числа.
Выполнять арифметические действия с рациональными числами, сочетая устные и
письменные приёмы, выполнять вычисления с иррациональными числами.
Находить значения степеней с целыми показателями и корней; вычислять значения
числовых выражений.
Округлять действительные числа, выполнять прикидку результата вычислений, оценку
числовых выражений.
Уравнения и неравенства
Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к ним, простейшие
дробно-рациональные уравнения.
Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными и системы двух
уравнений, в которых одно уравнение не является линейным.
Решать текстовые задачи алгебраическим способом с помощью составления уравнения
или системы двух уравнений с двумя переменными.
Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с
применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или
система уравнений решения, если имеет, то сколько, и пр.).
Решать линейные неравенства, квадратные неравенства; изображать решение
неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов.
Решать системы линейных неравенств, системы неравенств, включающие квадратное
неравенство; изображать решение системы неравенств на числовой прямой,
записывать решение с помощью символов.
Использовать неравенства при решении различных задач.
Функции
Распознавать функции изученных видов. Показывать схематически расположение на
𝑘
координатной плоскости графиков функций вида: y = kx, y = kx + b, y = 𝑥 , y = x3, y = |𝑥|,
y = ax2 + bx + c, y = √𝑥, в зависимости от значений коэффициентов; описывать
свойства функций.
Строить и изображать схематически графики квадратичных функций, описывать
свойства квадратичных функций по их графикам.
Распознавать квадратичную функцию по формуле, приводить примеры квадратичных
функций из реальной жизни, физики, геометрии.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при разных способах
задания.
Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и
геометрической прогрессий, суммы первых n членов.
Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости.
Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из
реальной жизни (с использованием калькулятора, цифровых технологий).
ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ КУРСА «АЛГЕБРЫ» 7 — 9 КЛАССОВ
УМК «Алгебра» для 7 — 9 классов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И.
Нешкова, С. Б. Суворовой включает:
рабочие программы;
учебник «Математика. Алгебра. 7 класс» в бумажной и электронной формах;
учебник «Математика. Алгебра. 8 класс» в бумажной и электронной формах;
учебник «Математика. Алгебра. 9 класс» в бумажной и электронной формах;
методическое пособие для учителя;
дидактические материалы;
рабочие тетради;
тематические тесты;
контрольные и самостоятельные работы.
Учебники «Математик. Алгебра. 7 класс», «Математика. Алгебра. 8 класс» и
«Математика. Алгебра. 9 класс» Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б.
Суворовой позволяют обучать математике на базовом и повышенном уровне.
В учебники включён материал из следующих фундаментальных разделов:
арифметика, алгебра, функции. Содержание материала каждого из этих разделов
раскрывается
последовательно,
составляя
соответствующую
содержательнометодическую линию. В учебнике реализуется принцип сбалансированного развития
указанных линий курса, их взаимосвязи и взаимодействия.
Преобразования выражений используются для решения новых задач
вычислительного характера, для расширения круга рассматриваемых уравнений, а также
для исследования функций. Решение уравнений связывается с вычислениями и
тождественными преобразованиями, а также с различными задачами функционального
характера. Свойства функций являются опорными при исследовании уравнений с одной
переменной и систем уравнений с двумя переменными, а также при сравнении значений
выражений. Благодаря взаимосвязи и взаимодействию содержательно-методических
линий создаются условия для усвоения учащимися теории и овладения математическим
аппаратом.
Реализованный в учебнике подход к построению курса способствует личностному
развитию учащихся, создаёт условия для определения каждым из них индивидуальной
траектории изучения курса. Система упражнений в каждом пункте учебника начинается с
простейших заданий, очерчивающих тот минимум умений, без которого невозможно
дальнейшее изучение курса. Разобранные в учебнике авторские примеры, пошаговое
нарастание трудности заданий, сквозная линия упражнений для повторения — всё это
создаёт предпосылки для усвоения курса всеми учениками.
В то же время в поле зрения авторов постоянно находятся учащиеся, проявляющие
интерес и склонности к математике. Усложнённые задания, включённые в число
основных и дополнительных упражнений к главам, в пункты под рубрикой «Для тех, кто
хочет знать больше», в раздел «Задачи повышенной трудности», стимулируют учащихся,
интересующихся математикой, к мобилизации своих сил для перехода на более высокую
ступень в овладении материалом. Личностному развитию учащихся способствуют также
включённый в учебник раздел «Исторические сведения» и представленные в некоторых
пунктах сведения из жизни великих учёных. Ознакомление с материалом исторического
характера играет важную роль в формировании мировоззрения учащихся.
В ходе изучения материала вырабатывается умение учащихся применять модели и
схемы, знаки и символы. Например, переходить от описания реальной ситуации к
уравнению, от формулы, задающей функцию, к соответствующему графическому образу и
т. п. Выработке умения учащихся строить логические рассуждения, делать выводы
способствуют включённые в учебник задания с проблемной постановкой вопроса:
является ли данное равенство тождеством; нет ли в задаче лишних данных и т. п. В ходе
выполнения таких упражнений школьники учатся аргументировать свой ответ, вести
доказательные рассуждения.
Включение в учебник заданий для работы в парах и задач-исследований
способствует формированию коммуникативной компетентности учащихся. Задания для
работы в парах нацеливают учащихся на совместное составление плана решения и
взаимную проверку правильности его выполнения. Задачи-исследования направлены на
совместную работу учащихся под руководством учителя. В ходе их выполнения
формируются умения учащихся прислушиваться к мнению учителя, вести поиск пути
решения задачи под его руководством в контакте с одноклассниками, делать выводы и
обобщения.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
Тематическое планирование реализует один из возможных подходов к
распределению изучаемого материала по учебно-методическому комплекту по алгебре, не
носит обязательного характера и не исключает возможностей иного распределения
содержания. В примерном тематическом планировании разделы основного содержания по
алгебре разбиты на темы в хронологии их изучения по соответствующим учебникам.
Особенностью примерного тематического планирования является то, что в нём
содержится описание возможных видов деятельности учащихся в процессе усвоения
соответствующего содержания, направленных на достижение поставленных целей
обучения. Это ориентирует учителя на усиление деятельностного подхода в обучении, на
организацию разнообразной учебной деятельности, отвечающей современным психологопедагогическим воззрениям, на использование современных технологий.
Тематическое планирование курса «Алгебра» представлено в двух вариантах.
Первый вариант составлен из расчёта 3 часов в неделю, указанных в Примерной рабочей
программе (не менее 102 ч в год). При работе по второму варианту примерного
тематического планирования на изучение алгебры рекомендуется отводить не менее 4
часов в неделю (136 ч в год).
Второй вариант примерного тематического планирования предназначен для
классов, нацеленных на повышенный уровень математической подготовки учащихся. В
этом случае в основное программное содержание включаются дополнительные вопросы,
способствующие развитию математического кругозора, освоению более продвинутого
математического аппарата, математических способностей. Расширение содержания
математического образования в этом случае даёт возможность существенно обогатить
круг решаемых математических задач.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
7 класс (не менее 102 ч)
Название раздела
(темы) курса
Числа и вычисления.
Рациональные числа
Число
часов
25
Основное содержание
Основные виды деятельности обучающихся
Понятие рационального числа. Арифметические
действия с рациональными числами.
Сравнение, упорядочивание рациональных чисел.
Степень с натуральным показателем.
Решение основных задач на дроби, проценты из
реальной практики.
Признаки делимости, разложение на множители
натуральных чисел.
Реальные зависимости. Прямая и обратная
пропорциональности
Систематизировать и обогащать знания об
обыкновенных и десятичных дробях.
Сравнивать и упорядочивать дроби,
преобразовывая при необходимости десятичные
дроби в обыкновенные, обыкновенные в
десятичные, в частности в бесконечную
десятичную дробь.
Применять разнообразные способы и приёмы
вычисления значений дробных выражений,
содержащих обыкновенные и десятичные дроби:
заменять при необходимости десятичную дробь
обыкновенной и обыкновенную десятичной,
приводить выражение к форме, наиболее удобной
для вычислений, преобразовывать дробные
выражения на умножение и деление десятичных
дробей к действиям с целыми числами.
Приводить числовые и буквенные примеры
степени с натуральным показателем, объясняя
значения основания степени и показателя степени,
находить значения степеней вида an (a — любое
рациональное число, n — натуральное число).
Понимать смысл записи больших чисел с
помощью десятичных дробей и степеней числа 10,
применять их в реальныхситуациях.
Применять признаки делимости, разложение на
множители натуральных чисел.
Решать задачи на части, проценты, пропорции, на
Алгебраические
выражения
27
Буквенные выражения. Переменные. Допустимые
значения переменных. Формулы.
Преобразование буквенных выражений,
раскрытие скобок и приведение подобных
слагаемых.
Свойства степени с натуральным показателем.
Многочлены. Сложение, вычитание, умножение
многочленов. Формулы сокращённого
умножения. Разложение многочленов на
множители
нахождение дроби (процента) от величины и
величины по её дроби (проценту), дроби
(процента), который составляет одна величина от
другой.
Приводить, разбирать, оценивать различные
решения, записи решений текстовых задач.
Распознавать и объяснять, опираясь на
определения, прямо пропорциональные и обратно
пропорциональные зависимости между
величинами; приводить примеры этих
зависимостей из реального мира, из других учебных
предметов.
Решать практико-ориентированные задачи на
дроби, проценты, прямую и обратную
пропорциональности, пропорции
Овладеть алгебраической терминологией и
символикой, применять её в процессе освоения
учебного материала.
Находить значения буквенных выражений при
заданных значениях букв; выполнять вычисления
по формулам.
Выполнять преобразования целого выражения в
многочлен приведением подобных слагаемых,
раскрытием скобок.
Выполнять умножение одночлена на многочлен и
многочлена на многочлен, применять формулы
квадрата суммы и квадрата разности.
Осуществлять разложение многочленов на
множители путём вынесения за скобки общего
множителя, применения формулы разности
квадратов, формул сокращённого умножения.
Применять преобразование многочленов для
решения различных задач из математики, смежных
Уравнения
и неравенства
20
Координаты
и графики.
Функции
24
предметов, из реальной практики.
Знакомиться с историей развития математики
Уравнение, правила преобразования уравнения,
Решать линейное уравнение с одной переменной,
равносильность уравнений.
применяя правила перехода от исходного
Линейное уравнение с одной переменной,
уравнения к равносильному ему более простого
решение линейных уравнений. Решение задач с
вида.
помощью уравнений.
Проверять, является ли конкретное число корнем
Линейное уравнение с двумя переменными и его
уравнения.
график.
Подбирать примеры пар чисел, являющихся
Система двух линейных уравнений с двумя
решением линейного уравнения с двумя
переменными.
переменными.
Решение систем уравнений способом
Строить в координатной плоскости график
подстановки и способом сложения
линейного уравнения с двумя переменными;
пользуясь графиком, приводить примеры решения
уравнения.
Находить решение системы двух линейных
уравнений с двумя переменными.
Составлять и решать уравнение или систему
уравнений по условию задачи, интерпретировать в
соответствии с контекстом задачи полученный
результат
Координата точки на прямой. Числовые
Изображать на координатной прямой точки,
промежутки. Расстояние между двумя точками
соответствующие заданным координатам, лучи,
координатной прямой.
отрезки, интервалы; записывать их на
Прямоугольная система координат на плоскости. алгебраическом языке.
Примеры графиков, заданных формулами. Чтение Отмечать в координатной плоскости точки по
графиков реальных зависимостей.
заданным координатам; строить графики
Понятие функции. График функции. Свойства
несложных зависимостей, заданных формулами, в
функций.
том числе с помощью цифровых лабораторий.
Линейная функция. Построение графика
Применять, изучать преимущества,
линейной функции.
интерпретировать графический способ
представления и анализа разнообразной жизненной
График функции y = |𝑥|.
информации.
Повторение
и обобщение
6
Повторение основных понятий и методов курса 7
класса, обобщение знаний
Осваивать понятие функции, овладевать
функциональной терминологией.
Распознавать линейную функцию y = kx + b,
описывать её свойства в зависимости от значений
коэффициентов k и b.
Строить графики линейной функции и функции
y = |𝑥|.
Использовать цифровые ресурсы для построения
графиков функций и изучения их свойств.
Приводить примеры линейных зависимостей в
реальных процессах и явлениях
Выбирать, применять оценивать способы
сравнения чисел, вычислений, преобразований
выражений, решения уравнений.
Осуществлять самоконтроль выполняемых
действий и самопроверку результата вычислений,
преобразований, построений.
Решать задачи из реальной жизни, применять
математические знания для решения задач из
других предметов.
Решать текстовые задачи, сравнивать, выбирать
способы решения задачи
8 класс (не менее 102 ч)
Название раздела
(темы) курса
Числа и вычисления.
Квадратные корни
Число
часов
15
Основное содержание
Квадратный корень из числа. Понятие об
иррациональном числе. Десятичные приближения
иррациональных чисел.
Действительные числа. Сравнение
действительных чисел.
Арифметический квадратный корень.
Основные виды деятельности обучающихся
Формулировать определение квадратного корня
из числа, арифметического квадратного корня.
Применять операцию извлечения квадратного
корня из числа, используя при необходимости
калькулятор.
Оценивать квадратные корни целыми числами и
Уравнение вида x2 = a.
Свойства арифметических квадратных корней.
Преобразование числовых выражений,
содержащих квадратные корни
Числа и вычисления.
Степень с целым
показателем
7
Степень с целым показателем. Стандартная
запись числа. Размеры объектов окружающего
мира (от элементарных частиц до космических
объектов), длительность процессов в
окружающем мире.
Свойства степени с целым показателем
десятичными дробями.
Сравнивать и упорядочивать рациональные и
иррациональные числа, записанные с помощью
квадратных корней.
Исследовать уравнение x2 = a, находить точные и
приближённые корни при a > 0.
Исследовать свойства квадратных корней,
проводя числовые эксперименты с использованием
калькулятора (компьютера).
Доказывать свойства арифметических квадратных
корней; применять их для преобразования
выражений.
Выполнять преобразования выражений,
содержащих квадратные корни. Выражать
переменные из геометрических и физических
формул.
Вычислять значения выражений, содержащих
квадратные корни, используя при необходимости
калькулятор.
Использовать в ходе решения задач элементарные
представления, связанные с приближёнными
значениями величин.
Знакомиться с историей развития математики
Формулировать определение степени с целым
показателем.
Представлять запись больших и малых чисел в
стандартном виде. Сравнивать числа и величины,
записанные с использованием степени 10.
Использовать запись чисел в стандартном виде
для выражения размеров объектов, длительности
процессов в окружающем мире.
Формулировать, записывать в символической
форме и иллюстрировать примерами свойства
Алгебраические
выражения.
Квадратный трёхчлен
5
Квадратный трёхчлен. Разложение квадратного
трёхчлена на множители
Алгебраические
выражения.
Алгебраическая дробь
15
Алгебраическая дробь. Допустимые значения
переменных, входящих в алгебраические
выражения. Основное свойство алгебраической
дроби. Сокращение дробей.
Сложение, вычитание, умножение и деление
алгебраических дробей. Преобразование
выражений, содержащих алгебраические дроби
Уравнения и
неравенства.
Квадратные уравнения
15
Квадратное уравнение. Неполное квадратное
уравнение.
Формула корней квадратного уравнения. Теорема
Виета.
Решение уравнений, сводящихся к квадратным.
Простейшие дробно-рациональные уравнения.
Решение текстовых задач с помощью квадратных
уравнений
степени с целым показателем.
Применять свойства степени для преобразования
выражений, содержащих степени с целым
показателем. Выполнять действия с числами,
записанными в стандартном виде (умножение,
деление, возведение в степень)
Распознавать квадратный трёхчлен, устанавливать
возможность его разложения на множители.
Раскладывать на множители квадратный
трёхчлен с неотрицательным дискриминантом
Записывать алгебраические выражения. Находить
область определения рационального выражения.
Выполнять числовые подстановки и вычислять
значение дроби, в том числе с помощью
калькулятора.
Формулировать основное свойство
алгебраической дроби и применять его для
преобразования дробей.
Выполнять действия с алгебраическими дробями.
Применять преобразования выражений для
решения задач. Выражать переменные из формул
(физических, геометрических, описывающих
бытовые ситуации)
Распознавать квадратные уравнения.
Записывать формулу корней квадратного
уравнения; решать квадратные уравнения —
полные и неполные.
Проводить простейшие исследования квадратных
уравнений.
Решать уравнения, сводящиеся к квадратным, с
помощью преобразований и заменой переменной.
Наблюдать и анализировать связь между корнями
и коэффициентами квадратного уравнения.
Уравнения и
неравенства.
Системы уравнений
13
Линейное уравнение с двумя переменными, его
график, примеры решения уравнений в целых
числах.
Решение систем двух линейных уравнений с
двумя переменными. Примеры решения систем
нелинейных уравнений с двумя переменными.
Графическая интерпретация уравнения с двумя
переменными и систем уравнений с двумя
переменными.
Решение текстовых задач с помощью систем
уравнений
Уравнения и
неравенства.
Неравенства
12
Числовые неравенства и их свойства.
Неравенство с одной переменной. Линейные
неравенства с одной переменной и их решение.
Системы линейных неравенств с одной
переменной и их решение.
Изображение решения линейного неравенства и
их систем на числовой прямой
Формулировать теорему Виета, а также обратную
теорему, применять эти теоремы для решения
задач.
Решать текстовые задачи алгебраическим
способом: переходить от словесной формулировки
условия задачи к алгебраической модели путём
составления уравнения; решать составленное
уравнение; интерпретировать результат.
Знакомиться с историей развития алгебры
Распознавать линейные уравнения с двумя
переменными.
Строить графики линейных уравнений, в том числе
используя цифровые ресурсы.
Различать параллельные и пересекающиеся
прямые по их уравнениям.
Решать системы двух линейных уравнений с двумя
переменными подстановкой и сложением.
Решать простейшие системы, в которых одно из
уравнений не является линейным.
Приводить графическую интерпретацию
решения уравнения с двумя переменными и систем
уравнений с двумя переменными.
Решать текстовые задачи алгебраическим
способом
Формулировать свойства числовых неравенств,
иллюстрировать их на координатной прямой,
доказывать алгебраически.
Применять свойства неравенств в ходе решения
задач.
Решать линейные неравенства с одной переменной,
изображать решение неравенства на числовой
прямой.
Решать системы линейных неравенств, изображать
Функции. Основные
понятия
5
Понятие функции. Область определения и
множество значений функции. Способы задания
функций.
График функции. Свойства функции, их
отображение на графике
Функции. Числовые
функции
9
Чтение и построение графиков функций.
Примеры графиков функций, отражающих
реальные процессы.
Функции, описывающие прямую и обратную
пропорциональные зависимости, их графики.
Гипербола.
График функции y = x2.
Функции y = x2, y = x3, y = √𝑥, y = |𝑥|;
графическое решение уравнений и систем
уравнений
решение системы неравенств на числовой прямой
Использовать функциональную терминологию и
символику.
Вычислять значения функций, заданных
формулами (при необходимости использовать
калькулятор); составлять таблицы значений
функции.
Строить по точкам графики функций.
Описывать свойства функции на основе её
графического представления.
Использовать функциональную терминологию и
символику.
Исследовать примеры графиков, отражающих
реальные процессы и явления. Приводить
примеры процессов и явлений с заданными
свойствами.
Использовать компьютерные программы для
построения графиков функций и изучения их
свойств
Находить с помощью графика функции значение
одной из рассматриваемых величин по значению
другой.
В несложных случаях выражать формулой
зависимость между величинами.
Описывать характер изменения одной величины в
зависимости от изменения другой.
Распознавать виды изучаемых функций.
Показывать схематически положение на
координатной плоскости графиков функций вида:
y = x2, y = x3, y = √𝑥, y = |𝑥|
Использовать функционально-графические
представления для решения и исследования
уравнений и систем уравнений.
Повторение и
обобщение
6
Повторение основных понятий и методов курсов
7 и 8 классов, обобщение знаний
Применять цифровые ресурсы для построения
графиков функций
Выбирать, применять, оценивать способы
сравнения чисел, вычислений, преобразований
выражений, решения уравнений.
Осуществлять самоконтроль выполняемых
действий и самопроверку результата вычислений,
преобразований, построений.
Решать задачи из реальной жизни, применять
математические знания для решения задач из
других предметов.
Решать текстовые задачи, сравнивать, выбирать
способы решения задачи
9 класс (не менее 102 ч)
Название раздела
(темы) курса
Числа и вычисления.
Действительные числа
Число
часов
9
Основное содержание
Рациональные числа, иррациональные числа,
конечные и бесконечные десятичные дроби.
Множество действительных чисел;
действительные числа как бесконечные
десятичные дроби. Взаимно однозначное
соответствие между множеством действительных
чисел и множеством точек координатной прямой.
Сравнение действительных чисел,
арифметические действия с действительными
числами.
Приближённое значение величины, точность
приближения.
Округление чисел. Прикидка и оценка
результатов вычислений
Основные виды деятельности обучающихся
Развивать представления о числах: от
множества натуральных чисел до множества
действительных чисел.
Ознакомиться с возможностью представления
действительного числа как бесконечной
десятичной дроби, применять десятичные
приближения рациональных и иррациональных
чисел.
Изображать действительные числа точками
координатной прямой.
Записывать, сравнивать и упорядочивать
действительные числа.
Выполнять, сочетая устные и письменные
приёмы, арифметические действия с
рациональными числами; находить значения
Уравнения и
неравенства.
Уравнения с одной
переменной
14
Уравнения и
неравенства.
Системы уравнений
14
степеней с целыми показателями и корней;
вычислять значения числовых выражений.
Получить представление о значимости
действительных чисел в практической
деятельности человека.
Анализировать и делать выводы о точности
приближения действительного числа при
решении задач.
Округлять действительные числа, выполнять
прикидку результата вычислений, оценку
значений числовых выражений.
Знакомиться с историей развития математики
Линейное уравнение. Решение уравнений,
Осваивать, запоминать и применять
сводящихся к линейным.
графические методы при решении уравнений,
Квадратное уравнение. Решение уравнений,
неравенств и их систем.
сводящихся к квадратным. Биквадратные
Распознавать целые и дробные уравнения.
уравнения.
Решать линейные и квадратные уравнения,
Примеры решения уравнений третьей и четвёртой уравнения, сводящиеся к ним, простейшие
степеней разложением на множители.
дробно-рациональные уравнения.
Решение дробно-рациональных уравнений.
Предлагать возможные способы решения
Решение текстовых задач алгебраическим
текстовых задач, обсуждать их и решать
методом
текстовые задачи разными способами.
Знакомиться с историей развития математики
Линейное уравнение с двумя переменными и его
Осваивать и применять приёмы решения
график.
системы двух линейных уравнений с двумя
Система двух линейных уравнений с двумя
переменными и системы двух уравнений, в
переменными и её решение. Решение систем двух которых одно уравнение не является линейным.
уравнений, одно из которых линейное, а другое
Использовать функционально-графические
— второй степени.
представления для решения и исследования
Графическая интерпретация системы уравнений с уравнений и систем.
двумя переменными.
Анализировать тексты задач, решать их
Решение текстовых задач алгебраическим
алгебраическим способом: переходить от
способом
словесной формулировки условия задачи к
Уравнения и
неравенства.
Неравенства
16
Числовые неравенства и их свойства.
Линейные неравенства с одной переменной и их
решение.
Системы линейных неравенств с одной
переменной и их решение.
Квадратные неравенства и их решение.
Графическая интерпретация неравенств и систем
неравенств с двумя переменными
Функции
16
Квадратичная функция, её график и свойства.
Парабола, координаты вершины параболы, ось
симметрии параболы.
Степенные функции с натуральными
показателями 2 и 3, их графики и свойства.
𝑘
Графики функций: y = kx, y = kx + b, y = 𝑥 , y = ax2,
y = ax3, y = √𝑥, y = |𝑥|.
алгебраической модели путём составления
системы уравнений; решать составленную
систему уравнений; интерпретировать
результат.
Знакомиться с историей развития математики
Читать, записывать, понимать,
интерпретировать неравенства; использовать
символику и терминологию.
Выполнять преобразования неравенств,
использовать для преобразования свойства
числовых неравенств.
Распознавать линейные и квадратные
неравенства.
Решать линейные неравенства, системы
линейных неравенств, системы неравенств,
включающих квадратное неравенство, и решать
их; обсуждать полученные решения.
Изображать решение неравенства и системы
неравенств на числовой прямой, записывать
решение с помощью символов.
Решать квадратные неравенства, используя
графические представления.
Осваивать и применять неравенства при
решении различных задач, в том числе практикоориентированных
Распознавать виды изучаемых функций;
иллюстрировать схематически, объяснять
расположение на координатной плоскости
𝑘
графиков функций вида: y = kx, y = kx + b, y = 𝑥 ,
y = ax2, y = ax3,
y = √𝑥, y = |𝑥| в зависимости от значений
коэффициентов; описывать их свойства.
Распознавать квадратичную функцию по
Числовые
последовательности
15
Понятие числовой последовательности.
Задание последовательности рекуррентной
формулой и формулой n-го члена.
Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Формулы n-го члена арифметической и
геометрической прогрессий, суммы первых n
членов.
Изображение членов арифметической и
геометрической прогрессий точками на
координатной плоскости.
Линейный и экспоненциальный рост.
Сложные проценты
формуле.
Приводить примеры квадратичных
зависимостей из реальной жизни, физики,
геометрии.
Выявлять и обобщать особенности графика
квадратичной функции y = ax2 + bx + c.
Строить и изображать схематически графики
квадратичных функций, заданных формулами
вида y = ax2, y = ax2 + q, y = a(x + p)2,
y = ax2 + bx + c.
Анализировать и применять свойства
изученных функций для их построения, в том
числе с помощью цифровых ресурсов
Осваивать и применять индексные
обозначения, строить речевые высказывания с
использованием терминологии, связанной с
понятием последовательности.
Анализировать формулу n-го члена
последовательности или рекуррентную формулу
и вычислять члены последовательностей,
заданных этими формулами.
Устанавливать закономерность в построении
последовательности, если выписаны первые
несколько её членов.
Распознавать арифметическую и
геометрическую прогрессии при разных способах
задания.
Решать задачи с использованием формул n-го
члена арифметической и геометрической
прогрессий, суммы первых n членов.
Изображать члены последовательности точками
на координатной плоскости.
Рассматривать примеры процессов и явлений
Повторение,
обобщение,
систематизация знаний
18
Числа и вычисления (запись, сравнение,
действия с действительными числами, числовая
прямая; проценты, отношения, пропорции;
округление, приближение, оценка; решение
текстовых задач арифметическим способом)
из реальной жизни, иллюстрирующие изменение
в арифметической прогрессии, в геометрической
прогрессии; изображать соответствующие
зависимости графически.
Решать задачи, связанные с числовыми
последовательностями, в том числе задачи из
реальной жизни с использованием цифровых
технологий (электронных таблиц, графического
калькулятора и т.п.).
Решать задачи на сложные проценты, в том
числе задачи из реальной практики (с
использованием калькулятора).
Знакомиться с историей развития математики
Оперировать понятиями: множество,
подмножество, операции над множествами;
использовать графическое представление
множеств для описания реальных процессов и
явлений, при решении задач из других учебных
предметов.
Актуализировать терминологию и основные
действия, связанные с числами: натуральное
число, простое и составное числа, делимость
натуральных чисел, признаки делимости, целое
число, модуль числа, обыкновенная и десятичная
дроби, стандартный вид числа, арифметический
квадратный корень.
Выполнять действия, сравнивать и
упорядочивать числа, представлять числа на
координатной прямой, округлять числа;
выполнять прикидку и оценку результата
вычислений.
Решать текстовые задачи арифметическим
способом.
Функции (построение графиков, свойства
изученных функций; графическое решение
уравнений и их систем)
Решать практические задачи, содержащие
проценты, доли, части, выражающие
зависимости: скорость — время — расстояние,
цена — количество — стоимость, объём работы
— время — производительность труда.
Разбирать реальные жизненные ситуации,
формулировать их на языке математики,
находить решение, применяя математический
аппарат, интерпретировать результат
Оперировать понятиями: степень с целым
показателем, арифметический квадратный
корень, многочлен, алгебраическая дробь,
тождество.
Выполнять основные действия: выполнять
расчёты по формулам, преобразовывать целые,
дробно-рациональные выражения и выражения с
корнями, реализовывать разложение многочлена
на множители, в том числе с использованием
формул разности квадратов и квадрата суммы и
разности; находить допустимые значения
переменных для дробно-рациональных
выражений, корней.
Оперировать понятиями: функция, график
функции, нули функции, промежутки
знакопостоянства, промежутки возрастания,
убывания, наибольшее и наименьшее значения
функции.
Анализировать, сравнивать, обсуждать
свойства функций, строить их графики.
Оперировать понятиями: прямая
пропорциональность, обратная
пропорциональность, линейная функция,
квадратичная функция, парабола, гипербола.
Использовать графики для определения
свойств, процессов и зависимостей, для решения
задач из других учебных предметов и реальной
жизни; моделировать с помощью графиков
реальные процессы и явления.
Выражать формулами зависимости между
величинами
ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
Алгебра. 7 класс (102 ч)
№
Глава 1
§1
Тема
Числа,
выражения,
тождества, уравнения
Числа и выражения
кол-во часов
I
II
21
24
8
9
4
5
1
1
1 Рациональные числа
2 Числовые выражения
§2
3 Выражения
с
переменными
4 Сравнение
значений
выражений
Преобразование
выражений
5 Свойства действий над
числами
6 Тождества.
Тождественные
преобразования
выражений
Контрольная работа №1
Предметное содержание
Понятие рационального числа.
Арифметические действия с
рациональными числами.
Сравнение, упорядочивание
рациональных чисел.
Буквенные выражения. Переменные.
Допустимые значения переменных.
Преобразование буквенных
выражений, раскрытие скобок и
приведение подобных слагаемых.
Тождества и тождественные
преобразования выражений
Темы § 1–2
Характеристика деятельности
обучающихся
Иллюстрировать с помощью кругов
Эйлера соотношение между
множествами натуральных, целых,
рациональных чисел. Использовать
теоретико-множественную символику
для записи соотношений между
множествами. Сравнивать
рациональные числа, выполнять с
ними арифметические действия.
Представлять рациональные числа в
виде бесконечных десятичных
периодических дробей. Приводить
примеры непериодических
десятичных дробей.
Находить значения числовых
выражений, а также выражений с
переменными при указанных
значениях переменных. Использовать
для записи результатов сравнения
чисел знаки >,
Последние комментарии
7 часов 2 минут назад
7 часов 4 минут назад
19 часов 46 минут назад
22 часов 35 минут назад
2 дней 8 часов назад
2 дней 17 часов назад