Геометрические недоразумения. Книжка для родителей младших школьников [Александр Александрович Локшин] (pdf) читать постранично

А.А. Локшин, Е.А. Иванова

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
НЕДОРАЗУМЕНИЯ
Книжка для родителей младших школьников

МОСКВА – 2018

УДК 372.8(072):514
ББК 22.151.0я71
Л73

Локшин А.А., Иванова Е.А.
Л73

Геометрические недоразумения: Книжка для родителей
младших школьников. – М.: МАКС Пресс, 2018. – 48 с.: ил.
ISBN 978-5-317-05898-2
В книжке собраны и проанализированы базовые геометрические понятия, которые обычно рассматриваются в начальной
школе. Особое внимание обращено на типичные ошибки и трудные для понимания случаи.
УДК 372.8(072):514
ББК 22.151.0я71

ISBN 978-5-317-05898-2

© Локшин А.А., Иванова Е.А., 2018
© Оформление. ООО «МАКС Пресс», 2018

Содержание
1. О математических недоразумениях
(вместо предисловия) .................................................................... 5
2. Точка................................................................................................ 6
3. Точка (продолжение) ..................................................................... 7
4. Точка (окончание)........................................................................... 9
5. Прямая ........................................................................................... 10
6. Линия ............................................................................................. 12
7. Отрезок .......................................................................................... 13
8. Отрезок (продолжение) ............................................................... 15
9. Ломаные линии ............................................................................. 16
10. Луч ............................................................................................... 17
11. Углы............................................................................................. 18
12. Понятие о перпендикулярности. Плоскость ............................ 20
13. Углы (продолжение) .................................................................. 22
14. Многоугольники ......................................................................... 25
15. Многоугольники (продолжение) .............................................. 28
16. Окружность, круг и эллипс ....................................................... 30
17. Две удивительные истории про эллипс .................................... 33
18. Коварный куб.............................................................................. 35
19. Справа и слева ............................................................................ 37
20. Справа и слева (продолжение) .................................................. 40
Литература ........................................................................................ 46

3

4

1. О МАТЕМАТИЧЕСКИХ НЕДОРАЗУМЕНИЯХ
(вместо предисловия)
Математические недоразумения – это далеко не то же
самое, что математические парадоксы. В отличие от парадоксов, обычно основанных на глубинных проблемах
математики, недоразумения связаны, прежде всего, с употреблением математического жаргона, либо с неаккуратностью приводимых определений.
В этой книжке мы собрали некоторые недоразумения,
относящиеся к элементам геометрии, излагаемым в начальной школе.
И здесь присутствие недоразумений в каком-то смысле
оказывается неизбежным. Действительно, с одной стороны,
определения вводимых понятий должны быть краткими,
чтобы не отпугнуть детей от изучаемого предмета.
С другой же стороны, вынужденная (из-за краткости)
нечеткость введенных понятий приводит к недоразумениям, способным отвратить от математики именно тех детей,
кто более всего к ней способен.

5

2. ТОЧКА
В превосходном пособии Э.Н. Балаяна [1] читаем:
«Точка – это простейшая геометрическая фигура».
Казалось бы, к чему тут может придраться чересчур дотошный ребенок, ищущий в математике окончательную
истину?
А вот к чему.
Что такое геометрическая фигура?
Геометрическая фигура – это множество точек. Таким образом, точка – это элемент множества, а не само
множество. Поэтому точка геометрической фигурой не
является.
Вот так. Две точки – пожалуйста, это геометрическая
фигура. А одна точка – увы...
Что делать учителю или родителю, столкнувшемуся с
этим недоразумением?
Наш совет таков. Нужно сказать:
– Математики для упрощения своей речи часто пользуются жаргоном. И вместо слова «точка» должно было быть
написано: «одноточечное множество». А про точку надо
было сказать, что это – неопределяемое понятие.

6

3. ТОЧКА
(продолжение)
И все же – как объяснить ребенку, что такое точка?
Логично сделать это все равно не удастся (почему – об
этом чуть ниже). Наверно, надо сказать:
– В обычном языке слово «точка» обозначает такое маленькое пятнышко. Если это маленькое пятнышко начать
уменьшать, то оно в конце концов исчезнет. И вот, то самое
место, где пятнышко исчезнет, и есть математическая точка!

Рис. 3.1

7

Теперь сделаем два важных научных утверждения.
Утверждение А. Нет никакого сомнения в том, что
ребенок вас правильно поймет.
Утверждение Б. Объяснение, предложенное ребенку,
нелогично (содержит порочный круг).
С утверждением А дело обстоит следующим образом.
Недавно проводились исключительно тонкие биологические эксперименты над новорожденными крысятами, показавшие, что в их мозгу имеются специальные клетки, отвечающие за представление о точке и о направлении. Повидимому, с человеком дело обстоит аналогичным образом.
Именно поэтому ребенок легко поймет нелогичное (!) объяснение, которое ему будет предложено.
Теперь обратимся к Утверждению Б.
Если мы говорим: «Размеры пятнышка