Геометрические недоразумения. Книжка для родителей младших школьников [Александр Александрович Локшин] (pdf) читать постранично, страница - 3

одной стороны, и доступностью для понимания – с другой.
По-видимому, излишняя педантичность может оттолкнуть от предмета одних детей, а нестрогость и непоследовательность изложения – других.
Вот пример из [1], который, на наш взгляд, не является
авторской удачей.
На с. 9 про граничные точки отрезка сказано, что «Эти
точки называются концами отрезка». А буквально в следующей строчке (уже на с.10) говорится : «Всякий отрезок
имеет начало и конец». В результате ребенку, читающему
учебник, предлагается согласиться с тем, что один из концов отрезка является его началом. Назвать это педагогической удачей, на наш взгляд, трудно.

15

9. ЛОМАНЫЕ ЛИНИИ
Определение 9.1. Ломаная линия – это геометрическая
фигура, состоящая из отрезков, последовательно присоединенных друг к другу своими концами.
Примеры ломаных линий приведены на рис. 9.1.

Рис. 9.1. Ломаные линии:
а) самопересекающаяся и замкнутая;
б) незамкнутая;
в) замкнутая

16

10. ЛУЧ
Определение 10.1 (см., например, [1]). Луч – это часть
прямой, ограниченная с одной стороны.
Это определение, снабженное соответствующим рисунком (см. рис. 10.1), безусловно, будет понятно ребенку.
Заметим, однако, что, например, отрезок АВ (см. рис. 7.1)
также удовлетворяет этому определению. Поэтому приходится признать, что определение 10.1 не вполне корректно.

Рис. 10.1

Приведем более точное, общепринятое определение.
Определение 10.2. Лучом с началом в точке А называется часть прямой, состоящая из точки А и всех точек
данной прямой, лежащих по одну сторону от точки А.
Какое же из двух вышеприведенных определений должен предпочесть учитель в начальных классах? Повидимому, как и в случае с определением отрезка, имеет
смысл предпочесть более краткое (хотя и не вполне корректное) определение 10.1, а потом дополнить его, разобрав
соответствующие примеры.

17

11. УГЛЫ
В этом пункте мы столкнемся с новыми неприятностями, связанными с употреблением математического жаргона
и вообще с некоторой неразберихой, присутствующей в
математике.
Итак,
Определение 11.1 (см., например, [1]). Углом называется геометрическая фигура, образованная двумя лучами,
исходящими из одной точки. (Эту точку называют вершиной угла.)
На рис. 11.1 изображены два угла:
АВC и DEF.
(11.1)
Заметим теперь следующее важное обстоятельство.
Как известно, в математике (и не только в математике)
иногда возникает необходимость сравнивать величины
углов. Но если опираться только на определение 11.1, не
дополняя его новыми условиями и ограничениями, то сравнить между собой углы (11.1) просто-напросто не удастся.
Чтобы это удалось сделать, нужно договориться о том, какая у каждого из углов сторона первая, а какая – вторая;
потом ввести понятие плоскости; далее, условиться о том,
что направление вращения против часовой стрелки является положительным. И только после этого мы сможем
сравнивать между собой величины двух углов. Такой
способ сравнения углов представляется нам не самым
удачным для начальной школы.
18

Рис. 11.1

Любопытно, что существует другое определение угла,
которое позволяет избежать упомянутых трудностей. С
этим (другим) способом мы познакомимся ниже.

19

12. ПОНЯТИЕ О ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ.
ПЛОСКОСТЬ
Наша цель – ввести понятие плоскости, опираясь на
определенные мысленно осуществимые действия, а не
просто на созерцание, скажем, поверхности стола или глади
озера.

Рис. 12.1

Итак, рассмотрим два луча с общей вершиной: ОА и ОВ
и начнем вращать эту геометрическую фигуру (которую
можно было бы назвать углом, если придерживаться определения 11.1) вокруг оси ОА. Если при этой процедуре исходное положение луча ОВ и его новое положение время
от времени образуют единую прямую, то скажем, что лучи
ОА и ОВ перпендикулярны друг другу (см. рис. 12.1).

20

А область, заметаемую в этом случае лучом ОВ при
вращении, назовем плоскостью (см. рис.12.2).

Рис. 12.2

21

13. УГЛЫ
(продолжение)
Введем теперь новое, отличное от предыдущего, определение угла.
Определение 13.1. Часть плоскости, ограниченную
двумя лучами с общим началом, назовем углом.
(Общее начало двух упомянутых лучей назовем, как и
раньше, вершиной угла.)
Замечание. Каждая пара лучей с общим началом разбивает плоскость на две части (на два угла). Когда мы говорим об угле, ограниченном данной парой лучей, то обязательно подразумеваем одну из этих двух частей. На рис.
13.1 соответствующие части плоскости закрашены.
Наше новое определение угла позволяет легко ввести
операцию сравнения любых двух углов.
Определение 13.2. Пусть АВC и DEF – два угла,
которые для определенности будем считать расположенСкажем, что АВC
ными в одной и той же плоскости
меньше, чем DEF , если, перемещая АВC вдоль плоскости как твердое тело, его можно целиком разместить
строго внутри DEF (при этом необходимо, чтобы вершины обоих углов совпали).
Нетрудно видеть, что изображенный на рис.13.1