М. В. Потоцкиii
З. И. Моисеева,
Е. Г. Глаrоnева,
&. В. Сорокин
Ф. М. &арчунова,
П. &. Роiiтман,
Н. Н. Гурова
В. д. &еnоусов,
и. н. Викован,
Н. Х. Сnатару
Ф. Ф. Наrибин
И. л. Никоnьска•
46
д,
47
51
54
&. з. rкед енко
О. С. Ред оsу&ова
м. r. д» авадов,
д, я. Kpeiiмep
с. &. Фаiiнштеiiн
Ш. Х. Гущян
Г. д. KapareбaкJIH
М. Н. Baiiнwтeiiн,
д. Т. Роrов
О некоторых результатах работы девятых классов
Слово учителя в преподавании математики
8
Организация заключительного повторения материала геометрии в Х классе
12
Об устном экзамене по алгебре в Vlll классе
24
Геометрические задачи в Vl-Vlll классах
Изучение логического следования и логической равносильности
в Vll классе
Активизацv.я учебно-познавательной деятельности ШJСольников на уроке
К составлению зада·-1 и упражнений по материалам развития народного
хозяйства СССР
Альтернативно или интегрально?
40
44
Р. А. Ха6и6
Я.
Xanaмaiisep
О вtтуnнтельных экзаменах no математике
в вузы и техникумы в 1976 r.
Естественные факультеты Московского университета
Математический факультет МГПИ им. В. И. Ленина
К очерэдным вступительным экзаменам в вузы необходимо готовиться
Армлнский государственный педагогический институт им. Х. Абовяна
Об итогах вступительных экзаменов по математике в техникумы
От редакции
1"ехннческие средства обучени•. Наrлs�дные nособиа
Наш математический кабинет
Магнитофон на уроках математики
Об аппликациях на вертикальной плоскости
Факу.riыативнЫе эан�&тня
Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского
на основе системы аксиом школьного курса геометрии
Из опыта организации самостоятельной работы
членов математических факультативов
67
В. л. Рабинович
73
В. Ф. Волrина
71
Б. м. Поляков
Эксперимент
Методика изучения
комбинаторики
на
графах
Внеклассная работа
ВЗМШ в помощь учителям старших классов
76
Этюд о вписанной полуокружности
78
Задачи
&1
-----· -------
Математический календарь на 1976/77 учебный rод
В. Л. Гутенмахер,
Ж. М. Раббот
И. А. Куwнир
89
А. И. Бородин
Поздравляем юбиляров
Степан Павлович Пулькин
Иван Семенович Бровиков
Владимир Яковлевич Саннинский
89
В. И. Левин,
11
54
55
и
темы cooбµieiшl!
Истqчни
2
3
1 . Схема построен и я курса геометрии
2. Вопросы 1-8 из Г-10, с . 69
к
Таблицы, диафильмы! кинофильмы
§ 1
Г-9, с. 1 1 3, 1 1 4;
Г - 1 0, с. 9 1 -92
опр,еделение,
§ 64
3. Плоскость, касательная к сфере:
признак
1. Вопросы 37, 40, 38 ( 1 ) из Г-10, с. 70
Г: 10. с. 96, 97 Табл. 1; д/ф « Па раллельность пря
мых и плоскостей в пространстве»
2. Параллельные прямые: определение, доказательство
(а втор А. Михайловская); д/ф
существования, п ризнаки·
« П роекции и построение п рост
§ 8 , 12
3. Теорема от трех п а ра ллельных прямых. Транзитив
ранстве н н ы х фигур», ка д ры 6-9
н ость параллельности ·прямых. Связка параллель
(автор И. Вейцман); к/ф «Стерео
н ы х. Пара·ллельное п роектирован и е и его с в ойства
метрия», раздел 2 (автор А. По
§ 6
4. Скрещивающиеся пря мые: определение, доказатель
зак)
ство существования, п ризнак
§ 7
.:> . Прямая и плоскость
параллельные: определение,
доказ11тельство существования, признак
§ 10, 33
1. Параллельные плоскости: определе ние, доказатель
То же, что на уроке 55
ство существован ия, цризнак (теорема 6). Сформулировать другие признак и
2. Вопрос 3 4 и з Г-10, с. 70
§ 11
3. Задача о проведении параллельных п л ос костей через две скрещивающиеся прямые
§ 1 4-27 ,
То же, что на уроке 55, и табл. 2
1. Вопросы 9-33 из Г-10, с. 69, 70
з1 . 32 , 46
2. Пра вило параллелепипеда. Теорема о разложении
§ 23
вектора по трем некомпланарн ы м в екторам
§ 24
3. Теорема о двух выпуклых углах с соответственно
·
56
57
59
60
сона правленными сторонами: угол между направлениями; угол между двумя ненулевыми вектора ми
1. Прямая и шюскость перпендикулярные: определе
ние, признак, следствия
2. Задача () проведении через данную точку перпен
дикуляра к данной плоскосп:1. Ед1щстве111Jость решения
3. Вопрос 48 из Г-10, с. 71
1 . Теорема о двух Перпендикулярах к плоскости.
Обратная теорема
2. Ортогональное проектирование на плоскость
3. Теорема о трех п е рттендикуляра х
1 . Угол между наклонноll и плоскостью: доказатель
ство существовани я угла с наи меньшей величиной
между наклонной к плоскости lf прямыми плоскости ;
определение угла между наклонной и плоскостью
2. Двугранный угол: опредедение, элементы двугран
ного угла; линейный угол, е г о определение и с вой
·
ства: измерение двугранного угла
3. Плос1 ((KBD)Н AP])
(т. 2); ([ BD] с ( КBD)) => (( К BD) jj [BD j ) (по
определению прямой, параллельной плоскости);
( К BD) = а., !::. В К D сечение; I BD I = а V 2;
-.12
1
1
vО т в е т: -4- al .
2.
sвко = т · 2 al
-
Дополнительные вопросы по решенной за
даче:
1 ) Докажите, что (РО) и (KD) - скрещива
ющиеся.
2) Назовите еще пары скрещивающихся
прямых.
3) Назовите какую.нибудь точку, относи
тельно которой (АР) и ( ОК) центрально-сим
метричны.
4*) Назовите пары пирамид, которые име
ют равные объемы ; сделайте необходимые обо
снования ( при затруднении можно провести
[КЕ] ..L [ ОС] ) .
5*) Как доказать, что точки Р и С р авно
удалены от ( B KD) ?
Н а д о м: подготовиться к уроку 56; Г - 1 О,
No 3 1 5, № 300 (только построение) ; н. з.
№ 3 1 2.
Урок 5 6
Т е м а . Параллельные плоскости
l . Доказательство учащимися теоремы 6 и
решение з адачи о проведении параллельных
1
На доске и в тетрадях удобно решение оформить
в две колонки: слева решение, справа обоснование.
плоскостей через две скрещивающиеся пря
мые ( § 1 1 ) .
2. Устные упражнения (во время подготов
ки учащихся к ответу) :
l ) Точк а D лежит вне плоскости, проходя
щей через точ ки А, В и С. Может ли четы·
рехугольник A B CD быть трапецией?
2) П риведите несколько способов доказательства
п а раллельности п ротиволежащих
граней параллелепипеда.
3) Могут ли пересекаться плоскости, парал
лельные одной н той же прямой?
4) Как н айти р асстояние между параллель
ными плоскостями; может ли оно р а вняться О?
3. Решение з адачи ( п осле заслушивания от
ветов учащихся) .
В основании пирамиды PAB CD ромб
ABCD; I A C I =d ( рис. 2 ) . Через середину реб
ра АР - точку Р 1 проведены в гранях, содер
жащих это ребро, [ Р 1В1] 11 [ РВ ] и [P1D1 ] 1 1 [PD] .
Площадь сечения пирамиды плоскостью
B1P1D1 равна Q. Найдите объе.м пирамиды.
Дополнительные вопросы по решенной за
даче:
l) Какие из известных в а м преобразований
отображают (P1D 1 B 1 ) на (PDB ) ?
2 ) Чему р а вно р асстояние между этими пло
скостями?
3 ) Чему равен объем усеченной пирамиды
PiD1B1PDB, если объем данной пирамиды ра
вен 2?
Н а д о м : подготовиться к уроку 57; Г- 1 0,
№ 342 ( решить с обоснован.и ями н а отдельных
листках) ; н. з. № 304.
Урок 5 7
Т е м а . Преобразования пространства.
Векторы
l . Беседа учителя об отображениях.
Содержание беседы может быть определено
следующей системой вопросов и замечаний.
1 ) В курсе м атематики большую роль игра
ют отобр ажения. В алгебре область определе
ния и м ножество значений отобр ажений есть
некоторые подмножества множества действи
тельных чисел. В геометрии рассматриваются
отобр ажения, об.п асть определения и м ноже
ство значений которых есть м ножество гео
м етрических фигур. Р ассм атриваются здесь
и другие отобр ажения, где область опреде
ления - м ножество геометрических ф игур, а
м ножество значений - множество неотрица
тельных чисел ( при рассмотрении вопросов
измерения геометрических величин: длин, пло
щадей, объемов ) .
2) П о табл. 2 учитель может повrорить по
следовательность подмножеств отображений,
1 ].
о:rоБРАЖЕНИЯ
Отоtfрожсние qшгурь1 Ф 8rрцгуру (),
!lmoQ/J11Жclflш qщгуры Ф на qшгyдf/r/!r
f,
fz
при решении задачи и рассмотрении дополни
тельных вопросов к ней.
2. Устные упражнения (по готовому риеунку
четырехугольной пирамиды PA BCD).
�
1) Представьте вектор D C в виде: а) раз
ности векторов различными способами; б) в
виде сум мы четырех ненулевых векторов.
-�
которые изучались в школе, с иллюстрацией
на конкретных примерах. Здесь же можно
вспомнить определение конгруэнтных и подоб
ных фигур; подчеркнуть, что эти два отноше
ния обладают свойства м и рефлексивности,
симм етричности и тра нзитивности (по заранее
заготовленным записям ) .
3) Р ассмотреть виды перемещений по пла
ну: определение, способы задания, основные
свойства, построение образа точки. Провести
классифика цию их по числу точек, отобража
ющихся на себя.
4) В вести понятие тождественного отобра
жешrя.
5) Более подробно расс мотреть вектор, его
характеристическое свойство. Вспомнить, что
векторами удобно пользоваться для решения
з а д а ч геометрии, каса ющихся
расположения
двух прям ых, принадлежности трех точек од
ной прямой, отношения длин параллельных от
резков. В процессе решения та ких з адач ис
пользуются операции сложения и вычитания
векторов, умножения вектора на число.
О перация скалярного умножения позволяет
решать м етрические задачи: вычислять рас
стояния , величины углов, находить метриче
ские соотношения между угловыми элем ента
ми м ногоугольников, отыскивать разюiчные
множества точе к и т. д. Все это кон_кретно
поr
векторы DC и КР по этим векторам.
11
с
А
Рис.
-
.-..+-
3
-
�
Ри.с.
4
в
4
-
DC = АС - AD (формула вычитания);
-�
кР =
1 -� -�
1 -�
-2 АВ + AD + Т DC -:-
-->1 �
1 -�
1
= - т AB + AD + 2 AC - 2 AD =
-4
-�
-�
1
= 2 (AD + АС - АВ) (по правилу много-
угольника ) .
Н айдем скалярные произведения векторов
К Р и АВ,
_-..i.
_
_.,.
К Р и DC (используя определенr:е
с калярного пронз�: едения векторов и его за
коны):
1
КР . А В = y ( AD + АС - А В) · А В
1
�
= т ( AD · A B + A C А В - А В2)
_---;..
--
___,.
�
=
__ _,.
--
__.
_ -).
(а2cos60° + а2cos 60°
--+
=
-�
.
1
---?
--
=
-
а2) = О,
KP· DC = т (AD + АС - А В) · (AC - AD)=
--4-
____,.
1
_---;..
- --
-....;..
�
-
= 2 (A D · AC - A D2 + АС2
-�
- ---;..
AC · AD
-
-
- АВ · АС + A B · AD) =
2- ( - а2 + а2 - а2cos 60° + а2 cos 60 °) = О.
С ледовательно, ( KP) _l_ [A B] , (KP ) _l_ [DC ] и
(КР)
ось симметр ии тетраэдра.
2) Пусть ( КР ) с а, s(KP) (a) =а ( свойство
=
1
-
осевой сим метр ии ) .
Плоскость а раз бивает тетр аэдр на 2 фигу
р ы Ф 1 и Ф2;
сим метр ии) ;
(свойство
осевой
Ф1 ::::::: Ф2
V (Ф 1 ) = V (Ф2) (свойство объемов ) .
Дополнительные вопросы по решенной задаче:
1 ) Имеет ли правильный тетр аэдр плос
кость сим метрии? Ответ обосновать.
2) Назовите п реобразование пространства,
отобража ющее данный тетр аэдр н а тетр аэдр,
объем которого в 27 раз меньше.
Н а д о м : подготовиться к уроку 58; Г- 1 0,
№ 3 1 3 (составить пла н обосновани я ) ; н. з.
«Доказать, что оси симметрии правильного
тетраэдра пересека ются в одной точке и их
отрезки внутри тетраэдр а делятся ею попо
лам».
. У к а з а н и е. Достаточно показать это для
двух осей, например для ( КР) и (MN) , и по
казать идею дальнейшего доказательства
(рис. 3).
Р е ш е н и е.
( KN) ll [МР] и I KN l = I M P I
(свойство средней линии треугольников ADC,
АВС и транзитивность п а раллельности и ра
венства ) ;
KN PM пар аллелогра м м (призна к п а р аллелогра м м а ) ;
I KO l = I O P j , I MO l = I ON I (свойство па
р аллелогр а м м а ) .
-
·
Урок 5 8
Т е м а. Перпендикулярность в пространстве
l. Вступление учитеJ1Я. При ра ссмотрении
различ ных случа ев вза и много расположения
_п рямых и плоскостей в пространстве мы обра
тили внимание н а то, что определения пере
сека ющихся пар фигур даются а н алогично. Из
м ножества этих пар выдели м та кие, в кота-
рых фигуры перпендикул ярны: a_l_b, a_l_ a,
a_.l_f3. Вопрос перпендикулярности в гео мет
рии очень важен. Вы знаете, что отрезок пер
пе�:дикуляра, проведенного через точку к пря
мои (к плоскости ) , имеет наименьшую длину
из всех отрезков, соединяющих данную точку
с точками пря мой (плоскости) , это и позволи
ло определить понятие р асстояния от точки
до прямой (до плоскости ) . Р асстояние между
параллельными прямыми ( плоскостям и ) есть
длина отрезка, перпенди кул я рного к ним. Так
же определяем и расстояние между скрещи
вающимися прямьiм и. Большую роль играет
перпендикуляр при нахождении площадей и
объемов р азлич ных фигур (высота ) и в целом
ряде других вопросов.
Вы пом ните, что изложение вопросов пер
пендикул я рности опирается на понятия век
торной алгебры, в частности на скалярное
произведение векторов. На этом уроке мы
р асс мотрим перпендикулярность прямой и
плоскости и вспом ним, как оно применяется.
Каждый раз, вводя определение какого-.пи
б о понятия, мы показываем, что это понятие
существует. Докажем , что перпендикулярные
прямая и плоскость существуют, и вспомним,
как через точку провести перпендикуляр к
плоскости. ( Вызв ать для ответа двух учени
ков . )
2. Устные упражнения ( во время подготов
ки учащихся к ответу) :
1 ) Р асскажите, как через точку в про
странстве провести три взаимно перпендику
.п ярные прямые.
2) Н а йдите множество точек простр анства ,
равноудаленных от трех данных точек, не ле
жащих на одной прямой.
3 ) Н а йдите множество точек п ространства,
равноудаленных от трех сторон треугольника.
4 ) Каково вз аимное расположение прямой
и плоскости, перпендикулярных к одно й и
той же прямой?
3. Решение задачи (после заслушивания от
ветов учащихся) . В тетраэдре DA B C ( р ис. 4 )
[ DA ] _l_ [ ВС ] , I DA l = b, I B C l = a. Расстояния
от точки А до (DB C) и от точки D до (АВ С)
равны. Найдите объем пирамиды, если дву
гранныи� угол при ребре ВС равен а.
Дополнительные вопросы по решенной за
даче:
1 ) Каков угол между п р ямыми А Р и ВС?
2) Чему р авно скалярное произведение век--;.
___,.
торов O D и А С?
3) Какая фигура является о ртогональной
проекцией боковой поверхности пирамиды н а
плоскость АВС; (BDC) ?
Н а д о м : подготовиться к уроку 59; Г- 1 О,
№ 1 70; н. 3. № 1 89.
19
Урок 59
Т е м а. Перпендикулярность в пространстве
(продолжение)
1 . Доказательство уча щимися теорем 15 и
21.
2. Устные упражнения (во время подготовки
учащихся к ответу, по готовому рисунку куба
A B CDA 1 B 1 C 1 D 1 ) :
1 ) Докажите, что диагонаJIЬ куба перпенди
кулярна любой диагонали грани куба, не пе
р есекающей ее.
2) Докажите, что [A 1 C] ..L (A B 1 D1 ) .
3 ) Расскажите, к а к можно провести перпен
дикуляр к (BDC1 ) .
4) Что является ортогональной проекцией
четыр ехугольника A 1 B 1 CD на каждую из пло
скостей граней куба?
3. Решение з адачи (после з аслушивания от
ветов учащихся) .
В основании пирамиды PA B CD ромб A B CD
( рис. 5) . Высота ее проходит через точку пе
ресечения его диагоналей и образует с ребром
РА угол а, а с ребром РВ угол �- Найдите
угол между плосr�остями РАВ и А В С.
р
р
в
в
с
Рис. 6
Рис. 5
Дополнительные вопросы по решенной за
даче:
1 ) Расскажите, как построить проекцию
[ РО] н а (АРВ).
2) Н азовите угол м ежду высотой пирамиды
и плоскостью грани А РВ.
3 ) В данную пирамиду вписан конус. Н азо·
вите р адиус его основания.
Н а д о м: подготовиться к уроку 60; Г-1 О,
№ 363; н . з. № 359.
Урок 60
Т е м а. Перпендикулярные плоскости
1. Рассказ учителя о двугранных углах и их
измерении с использованием готовых рисунков
и записей (в основу положить содержание
§ 38) .
20
2. Доказательство учащимися теоремы 22 и
существования угла с н а именьшей величиной
м ежду н а клонной к плоскости и прямыми пло
скости.
3. Устные упражнения (во время подготов
ки учащихся к ответу) :
1 ) П р я м а я пересекает плоскость. Р асскажи
те, как п ровести через эту прямую плоскость,
п ерпендикулярную данной плоскости. Сколько
решений имеет задача?
2) П р я м ая параллельна плоскости. Расска
жите, как через эту прямую провести пло
скость, перпендикулярную данной плоскости.
С колько решений имеет задача?
4. Решение з адачи (после з аслушивания
ответов учащихся) .
В основании пирамиды треугольник со сто
ронами 13, 1 4 и 15. Боковое ребро, противоле
жащее средней по величине стороне основания,
перпендикулярно основанию и образует с бо
ковой гранью, проходящей через эту сторону,
угол 45° (рис. 6) . Найдите: а ) объем пирами
ды; б ) расстояние от основания ее высоты до
боковой грани, не содержащей этой высоты.
Дополнительные вопросы по решенной за
даче:
1 ) Н азовите не менее четырех пар взаимно
перпендикулярных плоскостей.
2) На пример е каких-либо двух взаимно
перпендикулярных плоскостей в данной зада
че покажите все возможные случа и взаимного
расположения двух прямых, одна из которых
лежит в одной плоскости, а другая - в другой.
3) Чему р а в н а в еличина двугранного угла
ВС?
Подводя итог повторенного м атериала о па
р аллельности и перпендикуля рности в про
стра нстве, полезно указать н а их связь. В не·
которых случаях п а раллельность одних эле
ментов влечет за собой перпендикулярность
других и обратно, из перпендикулярности од·
них можно сделать з а ключение о параллель
ности других. Этот ф а кт доказывается в не
которых теоремах; вспомнить, какие это тео
ремы (теоремы 15, 1 6, 19).
П ровести упра жнения н а п роверку истин·
н ости высказываний.
Истинны JIН высказывания :
1) Если две прямые ( плоскости) перпенди
кулярны к одной и той же плоскости, то они
п а раллельны.
2) Если две прямые "(плоскости) перпенди
кулярны к одной и той же прямой, то они па
р аллельны.
3) Если прямая и плоскость перпендикуляр
ны к одной и той же прямой (плоскости) , то
они параллельны.
Н а д о м : Г- 1 0, № 342; проверить умение ре
шить некоторые з адг.чи по табл. 3; н . з.
№ 34 1 .
Урок 6 1
Контрольная работа № 7
I вариант
1 ) В правильной четырехуголыюй пирамиде
расстояние от центра основания до боковой
грани равно Ь, угол .между высотой пирамиды
и боковой гранью 13. Найдите:
а) площадь полной поверхности конуса,
вписанного в пира.лшду;
б) отношение объема конуса к объему пира
Аtиды.
2 ) Н. з. На рисунке к задаче постройте об
щий перпендикуляр ребра основания пиралшды и образующей конуса, расположенной в
противолежащей грани.
11 в а р и а н т
1 ) В правильной треугольной пирамиде рас
стояние от центра основания до боковой гра
ни равно Ь. Угол между высотой пирамиды и
боковой гранью а. Найдите:
а) площадь полной поверхности конуса,
вписанного в пирамиду.
б) отношение об'Оема пирамиды к объему
конуса.
2) Н. з. На рисунке к задаче постройте об
щий перпендикуляр бокового ребра и противо
лежащего ребра основания.
Н а д о м: подготовиться к уроку 62; поме
няться вариантами.
Урок 61
Т е м а. Многогранники. Призма
Анализ
контрольной р а боты ( если в этом
1.
имеется необходимость ) .
2. Доказательство учеником теоремы о свой
стве середины диагонали п а раллелепипеда (по
готовому р исунку параллелепипеда) .
3. Устные упражнения (во время подготовки
ученика к ответу) :
1 ) Всякую ли четырехугольную призму
можно назвать параллелепипедом?
2 ) Г- 1 0, № 65 ( ! ) , 67 ( 1 ) .
3) Могут л и две грани наклонного паралле
лепипеда быть перпендикулярными плоскости
основания?
4) Три грани параллелепипеда, имеющие
общую вершину, - прямоугол ьники. Являет
ся ли это свойство необходимым и достаточ
ным признаком прямоугольног·о параллелепи
педа?
3. Решение задачи ( после з а сл ушивания от
вета ученика ) .
В основании призмы АВСА1 В 1 С1 (рис. 7 )
лежит правильный треугольник с о стороной а,
боковое ребро равно Ь и составляет равные
углы со с.межными сторонами основания, пло
щадь грани СС1 В 1 В равна Q. Найдите пло
щадь сечения, проведенного через [АА 1 ] и вы
соту основания призмы, если [ АА1 ] составляет
с плоскостью основания угол в 45°,
в
А
Рис. 7
Рис. 8
Дополнительные вопросы по решенной за
даче:
1 ) Р асскажиту, как построить линейные
углы двугр анных углов при [ А 1 А ] , [ВС] , [ АС] .
2 ) Чему р авна величина двугр анного угла
ВС?
3 ) Чему р авен угол между ( АВС) и (С1В1В) ?
4 ) Назовите два способа нахождения объ
ема призмы.
Н а д о м : подготовиться к уроку 63; Г- 1 0,
№ 1 72, 292 ( 1 ) ; н . з. № 30 1 (только построить
сечение) .
Урок 63
Т е м а. Объе.м прямой призмы и цилиндр_а
1 . Опрос по кзрточкам.
I карточка
1 ) Доказ а т ь теорему об объеме
приз м ы.
2 ) Вопрос 78 ( 1 ) из Г- 1 0, с. 72.
прямой
11 к а р т о ч к а
1 ) Доказать теорему об объеме цилиндра.
2) Дать обоснов ания к з адаче № 292 ( 1 1 по
готовому чертежу.
2. Устные упражнения:
l ) Как формул ируется задача об измерении
объемов м ногогранников?
2) Объем куба и площадь его боковой по
верхности имеют одно и то же ч исловое значе
ние. Н айдите длину ребра куба.
3) Р адиус шара, описанного около куба,
р авен R. Н айдите объем куба.
·
4) Можно л и описать сферу около любого
прямоугольного пар аллелепипеда; л юбой пря
мой призмы? Ответ обоснова ть.
5) Можно ли вписать сферу в любой прямо
угольный параллелепипед; в л юбую прямую
призму?
6) Н а йдите объем фигуры, полученной от
вращения квадр а та со стороной а вокруг его
средней линии.
3. Решение задачи.
Прямая призма, основание которой - пря
моугольный треугольник с катетом а и проти
волежащим острым углом а, описана около
шара. Найдите ее объем.
Для решения данной задачи достаточно со
ставить план решения и ограничиться выпол
нением р исунка основа ния призмы, в кото
рый входит все необходимое для получения
ответа (6 АВС, где с = 90°, I BC I = а) .
Дополнительные вопросы по решенной за
даче:
1 ) Может ли шар, вписанный в приз му, ка
с аться какого-либо ее ребра?
2 ) Можно л и в данную призму вписать ци
л индр?
3 ) В ер но л и высказывание: объем данной
призмы равен половине п роизведения площа
ди боковой грани, проходящей через один из
катетов, на длину другого катета?
Н а д о м : подготовиться к уроку 65; Г - 1 О,
№ 367; н. з . № 353 ( l ).
Урок 64
Т е м а. Объем наклонной призмы
1 . Доказательство учеником теоремы об
объеме наклонной призмы.
2. Устные упражнения ( во время подготовки
ученика к ответу) :
l ) Площадь основания наклонной призмы
Q, высота Н, боковое ребро а. Н айти площадь
сечения, перпендикулярного боковому ребру.
2) В наклонную треугольную призму впи
сан шар радиуса r . Н а йдите объем призмы,
если площадь основания р авна S.
3) Вопрос 77 ( 1 ) из Г- 1 0, с. 72.
3. Решение задачи ( после заслушивания
ответа ученика) .
В призму вписан шар радиуса R. Найдите
объем призмы, если площадь боковой поверх
ности призмы равна S, а боковое ребро рав
но а.
До решения задачи обратить внимание уча
щихся на следующее: в призму м ожно вписать
ш а р в том и только том случ ае, если в перпен
дикулярное сечение призмы можно вписать
окружность и высота призмы р авна диаметру
этой окружности. По.JJезно сдела ть модель та
кой призмы. Чертеж можно не де.JJ атъ.
22
4. Подвести итог по теме «Объемы много
гранников» можно путем решения устных за
дач:
l ) Стороны основ а ни я прямоугольного па
р аллелепипеда равны а, радиус вписанного в
него шара р авен r. Н а йдите объем параллеле
п ипеда.
2) Основания прямой и наклонной призм
лежат в параллельных плоскостях. Сравните
объемы этих призм, если их основания равно
вел ики.
3) В цилиндр вписана правильная шести
угольная призма. Н айдите отношение их объ
емов.
4) Докажите, что если ш а р касается всех
граней многогр анника, то объем м ногогранни
ка р авен одной трети произведения р адиуса
шара на площадь полной поверхности м ного
гр анника.
Н а д о м: подготовиться к уроку 66; Г- 1 О,
№ 376, 1 77; н. з. № 370.
Урок 6 5
Т е м а. Пирамида и ее объем
1 . Доказательство учеником теоремы о се
чении пирамиды плоскостью, параллельной
ос�:юванию.
2. Устные упражнения (во время подготовки
ученика к ответу) :
1 ) В основании пирамиды лежит равносто
ронний треугольник, одна из боковых граней
перпендикулярна основанию. П равильная ли
это пирамида?
2) Может л и в усеченной пирамиде верхнее
основание быть ромбом, а нижнее - квадра
том? Ответ обосновать.
3) Через середину бокового ребра пирами
ды проведено сечение, параллельное основа
нию. Вычислите отношение п.JJощадей сечения
и основания.
4) Какими свойствами обладает пирамида,
ЕСе боковые ребра которой конгруэнтны?
5) Какими свойствами об,ладает пирамида,
у которой двугранные углы п р и всех сторонах
основания конгруэнтны?
6) Плоские углы при вершине треугольной
пирамиды прямые, бокоЕые р ебра равны 1 , 2
и 3 см. Н а йдите объем.
3. ДоказательстЕо учителем ( или наиболее
сильным уче1щком) теоремы об объеме пира
м иды по rотовому рисущ�у и зашJсям.
4. Решение з адач.
l ) В основании пирамиды лежит прямо
угольный треугольник, один из острых углов ·
которого а. Каждое боковое ребро раrзнD Ь и
образует с плоскостью осн.Qвания угол �
(рис. 8) . Определите объем пирамиды.
2) Площадь боковой грани правильной че
тырехугольной пирамиды равна Q. Определите
объем пирамиды, если боковая грань ее обра
зует с плоскостью основания угол а. ( Все дан
ные з адачи обозначить на готовом р исунке
пирамиды. З адачу решить устно. )
Дополнительные вопросы по решенной за
даче 1 :
1 ) Что является ортогональной проекцией
.6. ASC на ( АВС) ?
ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ
а)
с�
N}f'
в
А '1!fвсл&;!1
гJ
А
А
8)
А
'11.
IDCl=IABI
2) ВАС = 29°, SAO = 1 5°. Указать границы
величины угла SAC. Ответ обосновать.
При проведении урока можно использовать
кинофрагмент «Пирамида» и табл. 3 для
устного решения з адач.
А
S
1
ol
КD
Q):(/fp
В
Н
Q)
А
S
1
О�
"
4_�
[so] l. (ABC}
(SCD}l.(SOK}
Дaнo: [SO) l (KA!J)
-- {OP] l.{SAB)
� 8 Док : Рnpuнoilлe-
Дополнительные вопросы по решенной за
даче ( рис. 9 ) :
1 ) Какая фигура получится при вращении
ломаной ОВС вокруг оси l
( 001) ; лома
ной САВ вокруг оси l?
2 ) Расскажите, как найти площадь поверх
ности каждой из полученных фигур вращения?
=
Найдите отношение
[ME]il [ВС]
[РМ] 11 [All]
с Док : РТЕ;-f-трапеция
vu и л Ав
Vкон ВС
•
s
Табл иц а 3
Н а д о м: подготовиться к уроку 64; Г- 1 О,
№ 3 1 6; н. з. № 3 1 1 .
Урок
66
Т е м а. Конус и его объем
1 . Доказательство учеником те ремы об
объеме конуса.
2. Устные упражнения:
1 ) Радиус основания конуса равен R. Через
середину высоты конуса п роведено сечение,
параллельное основанию. Определите пло
щадь сечения.
2) Осевое сечение конуса - правильный
треугольник со стороной а. Определите объем
конуса.
3) По табл. 4 р асскажите, к а к найти объем
фигуры, полученной при вращении заштрихо
ванного м ногоугольника вокруг оси MN ( рас
смотреть рис. а, 6, в) .
3. Решение задачи.
С-23, вариант 3 ( 2 - е задание из «Дидактиче
ских м атер иалов по геометри и для 10 клас
са») .
Рис.
9
Рис. 1 0
Мож но подвести итог урока, используя диа�
фильмы, указанные в плане повторения.
Н а д о м: подготовиться к уроку 67; Г- 1 О,
№ 27 1 (2) и 25 1 ; н. з .№ 288.
.
Тем
Урок 67
Сфера и шар
1 . Опрос по карточкам.
1 к а р то ч к а
1 ) Сфера и шар. Их определение. Уравне
ние сферы.
2) Вопрос 35 ( 1 , 3) из Г- 1 0, с. 70.
а.
23
П
к а р точ к а
1) Теорема о пересечении сферы и плоскости.
2) Вопрос 35 (2, 4) из Г- 1 0, с. 70.
2. Устные упражнения:
1 ) В се вершины м ногогранника принадле
жат сфере. Сравните расстояния от вершин
м ногогранника до центра сферы.
2 ) Все вершины пирамиды принадлежат
сфере. Как найти центр сферы?
3) При каких условиях около пирамиды
м ож но описать сферу?
3. Решение задачи.
В шар радиуса а вписана правильная четы
рехуг ольная пирамида, боковое ребро которой
составляет с высотой угол а. Определите объе.м
пирамиды.
П олезно показать модель к этой з адаче, а
р ешение провести по р ис. 1 0, н а котором
изображен треугольник со сторонам и : [SО]
высота пирамиды, [SA] - боковое ребро,
[ АО] - р адиус окружности, описанной около
основ ания.
В. Д. Б!:ЛОУСОВ, 11. Н . ВИКОВАН, Н . Х . С П дТдРУ
(Молдав ска я СС Р)
ОБ УСТНОМ ЭКЗАМЕНЕ ПО АЛrЕБРЕ
В VШ КЛАССЕ
.
В июне 1 975 г. учащиеся восьмых классов
школ Молдавии, в которых с 1 968 г. было
введено обучение по новым п рогр а м мам, сда
вали устный экзамен по алгебре.
Введению новой формы проверки знаний
учащихся по алгебре з а весь курс восьми11ет
ней школы в течение трех лет в ш колах с
опережающим обучением предшествовала экс
периментальная проверка ее эффективности.
До 1 975 г. в Молдавии, как и в других
союзных республиках, учащиеся, оканчиваю
щие восьмилетнюю ш колу, сдавали письмен
ный экзамен по алгебре. П одготовка к тако
му экзамену не требовала повторения всего
теоретического м атериала и сводилась к со
вершенствованию н авыков по довольно узко
му кругу вопросов: на первый план выступали
упражнения, направленные на формирование
навыков. Упр ажнения м же, способствующим
р азвитию мышления, устной речи, умению де
л ать логические выводы, аргументировать за
ключения, не уделялось достаточного вни
мания.
Допо.л.ните.л.ьные вопросы
по
решенной
за
даче:
1 ) Как может быть расположен центр шара
относительно плоскости основания пирамиды?
2 ) Как р асположен центр шара, если:
�
= 40°;
а) д SOA - р авнобедренный; б) О
в) I SO l < I AO I ?
Н а д о м: подготовиться к ур.о ку 68; Г- 1 О,
№ 340; н. з. No 344.
Урок 68
Контрольная работа № 8
(из книги «дида ктические материалы
по геометрии для 10 кл асса»)
1 вариант
1 ) К·б, вариа нт 1 (2-е з адание) .
2) С-23, вариант 1 (2-е з адание) .
11 в а р и а н т
1 ) К-6, вариант 3 (2-е задание ) .
2 ) С-23, в ар иант 2 (2-е з адание ) .
Уроки 6 9 и 70 - резерв времени учителя.
В ведение новой п рограммы и новых учебни
ков по м атематике внесло существенные из
м енения в содержание курса м атем атики. Зна
ния и н авыки, которые должны приобрести
учащиеся в результате изучения алгебры,
весьма обширны : решение р азличных уравне
ний и систем уравнений; решение линейных
и простейших нелинейных неравенств и их
систем ; тождественные п реобразования выра
жений, в том числе степеней с отрицательны
ми и дробными показателя м и ; понятие ариф
метического корня ; логарифмирование и по
тенцирование; построение и чтение графиков
функций и т. д. Выяснить, н асколько глубоко
учащиеся усваивают такой р азнообразный ма
териал и как у меют применять теоретические
знания при решении п р а ктических з адач, воз
можно лишь в ходе устного экзамена. Устный
экза мен позволяет также проверить владение
учащимися теоретико-множественным языком,
умение использовать современную математи
ческую символику, проверить общую культуру
устной речи и уровень р азвития учащихся, а
также выявить, какие темы или разделы з а
курс VI-VI I I классов усвоены и м и более
сл або, какие з адачи они решают недостаточно
хорошо или вообще не умеют решать.
Устны й экзамен по алгебре проводился по
билетам ( всего их 24) . Каждый би.11ет состоит
из трех вопросов: первый - теоретический ,
два других носят практический характер (их
следует подбирать, исходя из подготовки уча
щихся данного класса) .
Первые вопросы экзаменационных билетов
охватывают основные темы курса V I -VI I I
классов.
В упражнения { ко второму и третьему во
просам) были включены задачи, решаемые с
помощью составления уравнений и систем
уравнений. Серьезное внимание уделялось
проверке навыков выполнения тождественных
преобразований, в частности выражений, со
держащих степени с дробными показателями,
вопросам, связанным с арифметической и гео
метрической прогрессия ми, с логарифмами.
Среди упражнений были и упражнения вычнс
.пительного характера, в частности связанные
с оценкой значения выражения методом гра
ниц, с вычислениями с помощью логарифми
ческой линейки.
Устный экзамен по алгебре показал, что
многие темы программы восьмилетней школы
учащиеся усвоили хорошо. Однако были
вскрыты и некоторые недостатки. Так, напри
мер, у восьмиклассников отсутствуют навыки
решен ия задач путем составления квадратно
го уравнения. нет твердых наныков тождест
венных преобразований дробных выражений;
видимо, в V I I кл ассе учителя не обратили
должное внимание учащихся на изучение этих
вопросов. Плохо оказались усвоенными такие
вопросы, как решение
неравенств
вида
(ах+Ь ) (cx+d ) > О, где а, Ь, с, d - заданные
числа; з адачи, решаемые с использованием
разложения квадратного трехчлена н а множи
тели. Недостаточно хорошо учащиеся выпол
няли вычисление значения выражения с по
�ющью логарифмической линейки; вычисление
и преобразование значения выражения, содер
жащего степени с рациональными показателя
ми, действия с арифметическими корнями.
Приведем з адачи, которые мы п редлагали
во вторых и третьих вопросах экза менацион
ных билетов (к каждому билету подобрано
по 3-5 задач, в статье п риводим только одну
из них) .
1 . 2) Установите, принадлежит ли арифме
тической прогрессии 3, 1 О, ... ч исло: а) 1 43,
б) 55 1 .
3) Покажите штриховкой н а координатной
плоскости множество точек, задаваемое систе
мой неравенств
xz + у2 < О,81 ,
у>О
2. 2) Найдите �.:орни. ура внения
{
у+5
у-5
у2 - 5у - 2у 2 - 1оу
=
у + 25
2у2 - 5о
•
3) Постройте гра фик функции у = О,7х.
С помощью графr�ка :
а ) с равните выражения 0,7-32, 0, 7-15 и 0,71•5;
б) решите уравнения О, 7х = 2 , О,7х 0, 6
и О, 7х
1.
3 . 2) Найдите целые решения системы неравенств
-4
2
'х- 1 -х
2
J > х - 1,
=
=
! --
5
- > х - 3.
2х - х
3
3) Докажите, что функция у = х2, где
х Е [О; 2] , обратима. Постройте в одной и той
же системе координат графики данной функ
ции и ей обратной. П ользуясь графиком, вы
ЯСJ:IИТе характер монотонности ( возрастание,
убывание) этих функций.
4. 2 ) Н айдите значение выражения
х3 + 1
2х2 - 2х + 2
2х3 :
sx•
-
п ри х = - О, 2ь .
3) Найдите сумму п первых членов ариф
метической прогрессии (х11 ) , у которой Xn =
= 1 2п + 7.
5. 2) Упростите выражение
-
1+
(
24
2)2 •
х-
4х - х2 - 4
З
(
х
3) Н айдите знамен атель + геометрической
прогрессии ( bn ) , если
б
)
7
Ь4 = - 1 2,
Ь7 = 23 15 .
6. 2) Известны длины а и Ь ( выраженю,:е
в м м ) основания и боковой стороны р а вно
бедренного
треугольника: 26 � а � 28
и
4 1 � Ь � 43. Оцените пери метр треугольника.
3) Используя график функции у =
,
найдите з начение у, соответству ющее значе
2; О; 1 ; 1 , 5 .
нию х , равному
7. 2) Вычислите :
4
1
а ) 5T . 5 - o,2s . 55 . 5-o,1s ;
(;У
-
б)
( 1 )- 2 (2 )
9
16
2-
•
•
1о
27
-
_!_
3
•
3 ) П остройте график функции У = -2х-4.
При каком значении х значение у р авно О?
Найдите множество значений х, при которых:
а)
2х 4 < О; б)
2х 4 > О.
8. 2) Предста вьте в виде суммы выражение
1
1 .
( 2р3 + q- 1 ) (2p3
q- 1).
- -
- -
3) Выясните с помощью графиков, и меет ли
решение систем а трех уравнений с двумя пе
ременными:
25
{
х + у = 2,
2х + Зу=0,
х - у = 10.
а)
9. 2) З а 6 м сати н а и 5 м штапеля упла
�или 19 р. СкоJ1ько стоит 1 м каждой ткани,
если 4 м сатина стоят столько же, сколько 3 м
штапеля?
3) Н а йдите основание z , есл и :
а ) logz 0,25 =
2;
-
1 0 . 2 ) Решите нера венство
х-4
О
--кк < .
Н айдите по графику, при каких значениях х
переменная у :
а ) принимает значение, р авное О; -2; -5;
б) принимает значение, меньшее О ;
в ) возрастает;
. г) убывает.
1 1 . 2) Выразите логарифм х через логариф
мы положительных чисел а и Ь, ест,:
·
��io
б) х = а
1
cio)z.
а)
3) Решите граф ически систему уравнений
{ ху = б ,
х-у
1.
1 2. 2) При каких з начениях переменной вер
но нераве нство
( - 1 ) 11
13 - у
3) Функция задана формулой у = х' постройте ее график. К акому множеству при
над;;ежит значение у, е сл и значение х при
на длежит множеству:
8
4;
- 2]?
1 5. 2) Н а йдите н аибольшее целое число,
удовлетворяющее неравенству
1 , 6 - (3,2 - О,2у) < 5 , 1 .
3) Постройте график функции у = х2 +2х
- 1 5. Рассматривая построенный график, най
дите:
а ) м ножества з начений х, н а которых зна
чения функции отрицательны, положительны;
б) множества значений х, на которых функ
ция возрастает, убывает.
1 6. 2) Вычислите
=
2,25-15,6-2,58
94-12 5
3'
'
•
3) Решите неравенство :
а ) V х < V 7; б ) 1/ х > 1 0.
1 7. 2) Найдите сум му первых пяти и п чле
нов геометрической п рогрессии, з аданной фор
мулой п-го члена : Ь п = 1 ,5 · 4п.
3) П остройте график функции у = -0,5х.
а ) Какое значение у соответствует х = -2;
О; 4?
б) Существует ли такое значение х, при
котором у = - 1 50? Найдите его.
в) Как изменяется значение у с возраста
нием х?
1 8. 2) Моторная лодка прошла 45 км по
течению реки и 22 км против течения, затра
тив на весь путь 5 ч. Найдите скорость лодки
в стоячей воде, зная, что скорость течения ре
IШ р авна 2 км/ч.
3) Разложите на множители многочлен
1 6а2 - 20а + 35у - 4 9у2•
1 9 . 2) Решите неравенство
х
1 3. 2) Найдите множество корней уравне-
Н Ш!
6) 1
у
3) Постройте график функции у = -0,5х2.
х=
[+; 1 ) ;
_
х-3 +
5
2х- 1 < 4
10
.
3) Н а йдите t по его логарифму (а, Ь и
положительные числа) :
lg t
=
1
2
t
-
Т + lg a - -g- lg b.
20. 2) Упростите выражение
(V 1 s - ·v20) . 2 VБ + i/75 .
3) Решите уравнение
(у2 + 2у + 4)2 - 7 (у2 + 2у + 4) + 12 = о
введением новой переменной.
2 1 . 2) Составьте квадратное уравнение по
его корням , 5 - 3 V2 и 5 + 3 V2; для про
верки решите его.
3) Сравните значенпя выражений:
а)
(_r5)-б
-2
"
и
_r5
J' 2
__
;
б) 0,78°·7 и О,78М.
22. 2) Решите уравнение (х+4) 2 = 3х+_40.
З) На расстоянии 80 м переднее колесо по
возки сделало на 8 оборотов больше заднего.
Найдите длину окружности каждого колеса,
есля известно, что длина окружности перед
него колеса на 0,5 м меньше длины о кружно
сти заднего колеса.
23. 2) Решите систему уравнений
{
х 2 + у2 = 50,
х2 - у2 = 0.
3) Используя график функции у = х3, най
дите:
\ Ф. Ф. Н дГИБИН \
(г. Киров)
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ З АДАЧИ
В VI Vlll КЛАССАХ
-
Решение геометрических задач в VI -VI I I
классах следует считать как. средством, так и
целью обучения геометрии. Это одно из наи
более важных средств созн ательного и проч
ного усвоения учащимися геометрической тео
рии, р азвития пространственных представле
ний учащихся, их логического мышления, эв
ристических и алгоритмических компонентов
мыслительной деятельности, творческих спо
собностей и самостоятельности мышления. Ре
шение задач как важная цель обучения гео
метрии имеет в виду успешную подготовку
учащихся к применению геометрических зна
ний в смежных дисциплинах, в практической
деятельности.
Как видим, цели, достижению которых при
звано служить решение геометрических задач,
р азнообразны. Это заставляет так сформиро
вать систему школьных геометрических задач,
чтобы ни одна из этих целей не выпала из
поля зрения .
Одной из наиболее важных характеристик
перестройки школьного курса м атематики яв
ляется переход к единой теоретико-множест
венной трактовке многих вопросов. Это в пол
ной мере относится и к его геометрической
части. Поэтому в систему геометрических за
дач вводятся новые, отр ажающие теоретико
множественные подходы к вопросам геомет
рии. Это задачи на способы задания точеч
ных множеств, на операции над геометриче-
скими фигурами как точечными множествами,
на использование в геометрии языка и сим
волики теории множеств и в особенности за
дачи на отображение точечных множеств (пе-
D.) значения
у, соответствующие значения м
равным 1 ,4 ; - 1 ,4; - 1 ,8; I ,8;
б) значения х, которым соответствуют зна�
чения у, р авные 5 ; 5.
24. 2) Сократите дробь
х,
-
5а + 10
2а2 + 13а + 18
•
3) Турист, проплыв по течению реки н а
плоту 1 2 к м , возвра11Ился обратно на лодке.
скорость которой в стоячей воде 5 км/ч. Най
ти скорость течения реки, если известно, что-,
н а все путешествие турист затратил 1 0 ч.
ремещения, гомотетия, подобное преобразова
ние) и их применения.
Существенной особенностью новой школь
ной геометрии является повьииение ее логиче
ского уровня. Большое внимание, уделяемое
учебным пособием логическому строению гео
метрии в VI и особенно в V I I I классах, тре
бует соответствующих з адач. Это задачи,
предназначенные для усвоения учащимися ро
ли определений и аксиом, видов теорем и свя
зей между ними, видов усл овий, на выяснение
истинности или ложности геометрических ут
верждений и др.
Существенным источником новых з адач я в
ляются вошедшие в курс новые теоремы.
Новая школьная геометрия открывает зна
чительно более благоприятные возможности
для установления связей между школьными
курсами геометрии и алгебры. В этом отно
шении существенно следующее: величина и ее
числовые значения, отображения, координ ат
ная прямая, перемещения координатной плос
кости, элементы векторной алгебры, примене
ния векторов, тригонометрические функции,
метрические соотношения в треугольнике, не
которые элементы аналитической геометрии
и т. д. Всеэти вопросы должны н айти отра
жение в системе задач.
В новой системе задач боль.шее, чем р анее,
внимание должно быть уделено задачам на
практические применения геометрических зна
ний, в частности на использование теооем в
конструкциях р азнообразных п рибор ов и
средств измерений, в р а ботах геодезического
характера, в вычислениях длин, угловых вели
чин, площадей, объемов и т. д. Может быть,
часть этого м атериала в последующей трудо
вой деятельности выпускника средней школы
и не найдет употребления. Но выяснение р аз
нообразных возможностей применений свяжет
геометрические знания с жизнью, возбудит
больший интерес к геометрии и внесет свой
27
вклад в диалектико-матер и ал истическое вое·
питание учащихся.
О бновленное содержание школьного курса
геометрии вызывает необходимость совершен
ствования его методики. Это обстоятельство
должно сказаться и на системе задач. О н а
должна существенно помогать р азвертыванию
а ктивной самостоятельной учебной деятельно
сти учащихся, р азвивать творческие компонен
ты мышления , оптимизировать учебную р або
ту. Необходим ы задачи для устного решения,
по готовым чертежа м, задачи с элементами
и сследования, обобщающие и конкретизирую
щие.
Мы видим, что систем а геометрических за
дач существенно пополняется новы ми задача
ми. Из традиционных остаются в ней задачи
с высоким познавательным и дидактu�tески.м
значение1rt. П р и этом многие из них следует
решать по-новому. Если р аньше основны м
приемом решения было использование «ра
венства» треугольников, то теперь . особенно
ш ирокое применение должны найти переме
щения, гомотетия, подобное преобразование
и векторы.
Хорошо известно традиционное р азделение
11шолы1ых геометрических задач на три ос
новных вида : 1 ) задачи на вычисление, 2) на
построение, 3 ) на доказательство. В совре
менных условиях оно, в общем, остается в
силе, но нуждается в уточнениях. Целесооб
разно в каждом из этих видов выделить неко
торые особые «подвиды», представляющие ин
терес в связи с новым и установками курса
геометрии.
Среди задач на вычисление особое место
занимают: а ) комбинаторные задачи, б) за
дачи, решаемые графически. Из задач н а по
строение можно выделить: а) задачи на «Вос
становление» ( построение) фигур по некото
рым точкам и другим фиксировпнным (по
положению и величине} элемента м, б ) задачи
н а построение с разного рода ограничениями
( с «Недоступным.и» частям и ф игур , с п репят
ствия ми, с огра ничениями, накладываемыми
на используемые инструменты, и др. ) , в } за
дачи на выполнение чертежей-рисунков с за
данными свойствами фигур, г} задачи на по
строение некоторых геометрических экстрему
мов. Из з адач на доказательство укажем за
дачи: а } на нахождение точечных множеств
по определяющи м их свойствам, б) на гео
метрические неравенства, в} на доказательст
ва по готовым чертежа м .
Система задач, п редлагаемая учебными по
собия ми « Геометрия» для VI-VI I I классов и
м етодическими руководствами к ним, содер
жит все указанные виды. Особого вни ма н и я
28
з аслуж и в ают задачи на доказ ательство. Это
объясняется не только важностью п рививае
мых учащимся навыков доказательства, но
и тем, что решение задач на вычисление и
построение включает в себя доказательства.
Меньшее, чем ранее, значение п ридается за
дача м н а построение. Они, ко.в ечно, нужны,
но усложнять и х нет никакой необходимости.
Достаточно ограничиться основными построе
ниями и несложными задачами, сводящимися
к основным. При этом заслуживают предпоч
тения задачи на построение фигур в зада н
ных преобразованиях и на построение, решае
мые с помощью преобразований.
Если мы обратимся к курсу геометрии
VI класса, то обнаружим, что он богат новы
ми для учащихся понятиями и новыми подхо
дами к уже известным понятиям. Учтем так
же необходимость более высокого логического
уровня изучения геометрии. Эти обстоятель
ства обусловливают усиление внимания к за
дача м-вопросам. Цель решения таких задач осознание, уточнение и конкретизация вводи
мых понятий и связей между ними. З адачи
вопросы ценны и в других отношениях: реше
ния их предполагают не только нахождение,
но и обоснование ответов. Поэтому учебная
р абота с ними связана с поисковой деятель
ностью учащихся и несложны ми дедуктивны
ми р ассуждения ми, хорошо подготавливающи
ми к проведени ю доказательств теорем. З ада
чи, о которых сейчас идет речь, необходимы
также для усвоения учащимися вводи мой
символики и используемого языка. Примера
ми задач-вопросов могут служить задачи на
усвоение нового важного понятия «лежать
между», на уточнение представлений о цент
ральной сим метрии и др.
В дидактическом отношении система гео
метрических задач должна содержать «Ввод
ные» задачи, н азначение которых - постанов
ка подлежащих изучению вопросов, задачи,
обеспечивающие усвоение этих вопросов, тре
нировочные, служащие закреплению изучен
ного и отр аботке необходимого автоматиз ма в
фор мируемых навыках, п роверочные, необхо
димые для контроля за ходом учебной рабо
ты, и, н аконец, задачи для повторения изу
ченного.
Геометрические задачи для р аботы со всем
составом класса должны быть посильными для
учащихся. В противном случае у большой ча
сти школьников неизбежно возникает неве
рие в свои силы и способности. которое по
влечет негативное отношение к изучению гео
метрии вообш е.
Следует призн ать, что овладению необходи
мы ми геометр.ическ.и ми и л о г и ч е ски м и поня-
тиюш, умению делать выводы и н аходить
решения возникающих вопросов можно обу
чить на в меру простых задачах, полнее ис
пользуя их развивающие функции. При этом
нvжно
постоянно з аботиться о необходимом
"
р азнообразии задач по их содержанию и при
емам решения 1•
Система задач учебных пособий « Геомет
рия» для VI-V I I I классов реализует выска
занные нами соображения о содержании и
назначении геометрических задач. Однако же
сткое требование буквального следования ей
в учебной р аботе интересами дела не вызы
вается. В конкретных условиях могут оказать
ся целесообразными отступления от нее. П о
отдельным пунктам учитель может дополнить
набор задач. По другим пунктам может ока
заться целесообразным сокращение предла
гаемого набора. Возможны и некоторые пе
рестановки задач внутри пунктов. Но все эти
изменения могут быть вызваны лишь основа
тельным учетом конкретных условий работы
с данным составом класса и не должны за
трагивать основ системы. Каждый раз в по
добных случаях решение нужно принимать на
основе выявления познавательных и дидакти
ческих возможностей кон кретных задач.
Возьмем для примера задачу по готовому
чертежу ( рис. l ) . Возможно следующее реше
ние. Проведем через точку D перпендикуляр
1J
л
АВС =45°
А
АСО = $0°
\св\:\спl f
АМ = ?
=
А
Рис.
-
r,:
1
-
(АС) (Е
точка пересечения его с (А С) )
и построи м отрезок ЕВ; дDЕС
прямоуголь
ный,
/[)с = 30°, 1 ЕС 1 = + / DCI = /С В /,
Л ЕСВ - равнобедренный (с вершиной С),
Е� = 120°, E'iJc = 30°, .bl = 1 5°
Е
А
ВАЕ = 1 5о,
1 Сказанное не означает, что система геометрических
задач для VI-V I I I классов доджна быть свободной от
задач повышенной трудности. Такие задачи, углубляю
щие и расширяющие изученное в клас-.е, необходимы
для индивидуальной и кружковой работы с учащимися.
1 AEJ = /ЕВ /, Л DЕВ - равнобедрешшй (с вер
шиной Е), 1 EBI I DEI, из двух последних
ра венств следует 1АЕ 1 I EDI, 6, AED - п µя�
=
=
моугольный ра внобедренный,
А
ADE
/'..
=
А
А
45°, ADB ADE + EDC =
45° + 30° = 75°.
=
=
Как видим, это решение опирается на свой
ства : суммы смежных углов, сум мы углов тре·
угольника, суммы острых углов пря моуголь·
ного треугольника, катета, противолежащего
углу в 30°, на признак и свойство р авнобед
ренного треугольника. Все эти вопросы из
учают в V I классе, и поэтому задача может
быть решена в этом классе. В познавательном
отношении она особого интереса не представ
ляет, в дидактическом отношении она содер
жательна, так как ее р ешение дает возмож
ность вспомнить значительное ч исло изучен
ных ранее утверждений. Поэтому р ассмотрен
ная задача целесообразна для повторения.
Что может затруднить учащихся при ее реше
нии? Основных трудностей две: вспомогатель
ное построение и составление цепочки после
довательно рассматриваемых треугольников.
Учащимся п ридется помочь преодолеть их.
Примерно так следует поступать учителю при
включении в систему или исключении из нее
других задач.
П ерейдем к рассмотрению основных общих
методических принципов р аботы с учебными
задачами по геометрии в VI-VI I I классах.
Главным из них следует считать принцип
широкого использования зада ч для активиза
ции учебной деятельности учащихся, для раз
вития мыслительных способностей, самостоя
тельности мышления .
Основные м ыслительные п роцессы, приводя·
щие к решению з адачи, могут быть алгоритми
ческими или эвристическими. Соответственно
условно можно говорить об алгоритмическом
и эвристическом решениях, хотя в практике
они выступают в связи. В школьном курсе
геометрии алгоритмически решаются основ
ные з адачи на построение, на построение фи·
гур-образов в з аданных п реобразованиях, н �
вычисление по готовым формул а м площадеи
ф игур, объемов тел, на решение треугольни
ков и некоторые другие. Алгоритм ( алгорит·
мическое предписание) особенно часто з адает
ся формулой, но в основе алгоритма может
лежать и определение понятия, а также тео
рема. Для овладения этим приемом решения
в соответствующих с.'lучаях следует начинать
с составления алгоритма для задач данного
вида. П р и этом важно уже в VI классе учить
истолкованиям формул, определений, теорем.
29
С формул а м и дело обстоит проще, так как
учащиеся уже владеют вычис.пениями по фор
мулам. Алгоритмы построений фигур н а ос
нове определений понятий и теорем нуждают
ся в отр аботке. Возьмем для примера построе
ние касательной к окруж ности. Алгоритм это
го построения м ожет быть составлен на осно
ве теоремы о том, что прямая, перпендикуляр
н а я диа метру окружности и проходящая через
его конец, является касательной к этой ок
р уж ности. Первый шаг: постройте р адиус
окружности, концом которого была бы данная
н а окружности точка (точка касания ) . Второй
шаг: постройте с помощью чертежного тре
угольника пря мую, перпендикулярную этому
р адиусу и проходящую через данную точку.
Так алгоритмизировать следует, конечно, лишь
более важные и трудные построения. Особен
но существенно в подобных случаях привле
чение учащихся к составлению алгоритмов,
так как алгоритм, найден ный самими учащи
м ися, легко запоминается и поэтому легко
воспроизводится.
Эвристич еские nрнемы реш�ния геометр иче
ских задач являются основны ми. Это объяс
няется спецификой таких задач. Овл адеть эв
ристическими приемами решения учащиеся
могут только в практике самостоятельных по
искоn. Однако это не озн ачает, что учащиеся
в этом отношении должны быть п редоставле
ны самим себе. Усвоением эвристических при
е мов решения задач можно и нужно руково
дить. П опытаемся выя вить некоторые возмож
i1Ьсти этого руководс:пза .
Хорошо известно, что уч ащихся весьма ч а
сто затрудняют вспомогательные построения,
необходи мые для решения задачи. Чтобы они
могли догадаться, ка кие и менно построения
нужны, следует внимательно Изуч ать, что
дано в задаче и что требуется. Обычно содер
жа1ше задачи подска:Зьiвает вспомогательное
поtтроение и часто не одно. Р ассмотри м зада
чу 1 1 из п . 33 ( «Геометрия 6») .
Дано: (MN) l! (l\L) (рис. 2 ) . Доказать:
А
А
А
A B C = NA B +B CL.
Здесь возможны такие вс,помоГательньiе по
строения : а ) продолжить (ВС] до пересече
ния с (MN) или [АВ] до Пересечения с (KL ) ,
/'1
/(
30
N
L
l'ис. 2
б ) построить пря мую, проходящую через В
и параллельную (МЛ! ) . Каждое из них под
сказывает иtкомое доказательство.
Рассмотрим еще интересную задачу по го
товому чертежу ( рнс. 3) . СнаЧа.па может по
казаться, что следует построить отрезок CD
и рассмотреть ра внобедренные треугольники
BAD, CA D и ВА С. Но этот путь оказывается
IABlА=ICAl =/DA)
CAD = С(
А
Рис. 3
бесперспективным. Вернувшись к условию,
У'!Тем , что точки В, С и D р авноудалены от А.
Может быть, стоит построить окружность
( А ; I A B I ) ? П остроим и сразу же «видим»
/'"
ответ: CBD = a/2.
В з адаче по рис. 1 выбор вспомогательного
построения также затруднен, но возможен,
е>сли вдуматься в условие. З аданное отноше11 ие
1 СВ 1 : 1 CD 1 = 1/2 « П одсказывает» догадку
о построении прямоугольного треугольника с
угJiом в 30°, так как для него отношение дли
ны катета, проти волежащего углу в 30°, к
длине гипотенузы также р авно 1/2 •
П риведенные примеры помогают сделать
вывод о том, что учащимся следует внушать
обращаться д.11я выбора вспомогательного по
строения к более основательному изучению
данных и искомого, при этом не теряться, ес
ли одна догадка не приведет к успеху, а ис
кать и пробовать вторую, третью, проявляя
настойчивость и изобретательность.
Освоению учащи мися эвристических прие
мов р ешения з адач помогают такие неодно
кратно повторяемые учителем «подсказки»,
как: «Не решали ли мы р анее задачу, анало
гичную данной ( или сходную с ней, или реше
нием которой м ожно воспользоваться в дан
ном случае) ? Не изучали ли мы теорему, ко
торая могла бы пригодиться в данной задаче?
Не ст6.ит ли р ассмотреть н екоторые частные
случ аи задачи?))
Н еобходимо н ак апливать и сохранять в па
мяти различные возможности применения из
учаемых фактов п ри решении задач. Напри
мер, для доказательства конгруэнтности углов
можно привлекать: а ) вхождение и х в кон
груэнтные фигуры, б) сохранение их величин
при перемещениях (величины углов сохраня
ются также при гомотетии и подобном п ре
обр-азовании ) , в) теоремы о вертикальных уг
лах, об углах с сонаправленными сторонами,
об углах параллелогра м ма, о вдисанных уг
лах, опирающихся на одну и ту же дугу, И т. д.
При изучении теорем существенно выяснять,
как и для чего их можно использовать. На
при мер, теорему Ф алеса особенно часто при
ходится применять в случае, когда конгруэнт
ные отрезки откладывают последовательно н а
стороне угл а о т его вершины. Поэтому ука
занный случай следует р ассмотреть особо.
Овладение эвристически ми приемами мыw
ления особенно тесно связано с использова
нием в р ассуждениях анализа и синтеза. Пер
вые задачи VI класса таковы, что для р еше
ния их достаточно одного-двух «Шагов» мыс
ли. Поэтому в поисках их решений предпоч
тителен синтез. Но постепенно во все большей
степени в решения включается анализ. Так
Что в р аботе с задачами учащиеся часто дол
жны слышать от учителя и з адавать самим
себе вопросы : «Что можно доказать ( вычис
лить, построить) , располагая такими-то дан
ными? Что достаточно доказать (построить,
вычислить) для достижения определенной
Цели?»
Особое значение для привития учащимся
навыков эвристического мышления и меют р аз
личные решения одной и той же задачи. Возь
мем задачу 7, п. 34 ( « Геометрия 6» ) .
Дока жите, что би с с ектриса вн е шн е го угла
при вершине равнобедренного треугол ь ника
параллел ь на основанию.
Наверное, учащиеся попытаются доказать
конгруэнтность углов DBE и ВА С ( рис. 4 )
и л и углов ЕВ С и А СВ. Но можно, п роведя
биссектрису BF, «натолкнуть» школьников на
иное решение, основоi1 которого будет утвер-
Е
___.
_
.._
А ..___...._
F
п
Рис. 4
ждение о перпендикулярности биссектрис
смежных углов.
В отдельных случаях з адачи, и нтересные в
познавательном отношении , можно решать
повторно н а основе нового материала.
В поисках различных способов р ешени я од
ной и той же задачи существен не спортив-·
ный интерес - н айти как можно больше спо
собов, а сопоставление их. И менно поэтому
во многих случаях п редпочтительнее р ешить
одну з адачу нескольким и способам.и, чем не
сколько з адач - одн и м способом.
Основным приемом поиска различных спо
собов решений з адачи, наве рное, следует счи
тать р ассмотрение р азных объектов (углов,
отрезков, пря мых, фигур и т. д.) и различное
толкование одних и тех же объектов, сводя
щееся к выявлению их новых связей и отно
шений. Так, при решении задачи о биссектри
се внешнего угла при вершине р а внобедрен
ного треугольника в первом случае актуали- '
зируются соответственные углы DBE и ВА С,
а во втором луч ВЕ р ассматривается как бис
сектриса одного из смежных углов.
Добавим к сказанному, что успешные по
иски будут убеждать учащихся в доступности
решений ( когда способов решения несколько,
то н айти хотя бы один из них л егче) .
Еще большую ценность для привития уча
щимся эвристических умений имеет заключи
тельный этап работы с з адачей ( или серией
задач) . Во многих случаях его составной ча
стью должно быть обсуждение решения, т. е.
выявление основной его идеи, установление
того, что помогло догадаться о ней, каким и
теоремами и р анее решенными задача м и п р и
шлось воспользоваться. Конечно, подобные
вопросы можно став,ить и решать далеко не
по всем задачам, а только по особенно важ
ным в познавательном и дидактическом отно
шениях и · по некоторы м сериям задач, объ
единяемых единой идеей рещения.
Основным методическим приемом р а боты с
задачами, поощряющим познавательную де
ятельность и создающим для нее особенно
благоприятные возможности, следует п ризнать
самостоятельную р аботу учащихся 2• Спра
ведливо считается, что одна задача, решенная
учеником самостоятельно, стоит десяти задач,
решения которых даны готовыми. Действи
тельно, систематическое п роведение самостоя
тедьных р абот будет существенно помогать
достижению всех целей, п реследуемых р а бо
той с задачами. В частности, оно будет давать
учителю богатую информацию о ходе и ре
зультатах учебной р аботы, а значит, возмож"- ·--··· ·
2 Возм ожные тексты таких работ даны в дидактиче
ских материалах.
31
несть незамедлительно корректировать ее со
держание и методику. В ажно и то, что при
выпол нении самостоятельных р абот (но н е
контрольных) уча щиеся свободно могут обра
щаться к учебнику, к своим запися м, к помо
щи товарищей и особенно учителя.
И спытанным и хорошо з а рекомендовавшим
себя средством активизации мыслительной де
ятельности учащихся я вляются задачи-вопро
сы. Для р а зрешения их особенно удобна
/{Лассная беседа, но можно включать их и
в индивидуальные задания учащи мся. Для бо
лее сильных учащихся такие задачи можно
несколько усложнять. Так, в VI классе могут
быть, например, предложены вопросы: «Какие
отрезки отобр ажаются н а себя при : а ) осевой
симметрии, б) центральной сим метрии, в) по
вороте, г) параллельном переносе? П р и каких
перемещениях прямая отображаются н а па
р аллельную ей прямую?»
Решая з адачу-вопрос, учащиеся должны
дать ответ и обосновать его. Это хорошая
.
п рактика в н ахождении и «проговаривании»
несложных доказательств.
К з адачан-вопросам примы кают задачи для
устного решения ( многие из них можно пред
л агать учащимся по готовы м чертежам ) .
В учебном пособи и такие задачи выделяются
знаком ( 0 ) . Но учитель, хорошо знающий воз
можности своих учеников, может изменять их.
З начительны м вкладом в развитие само
стоятельности мышления учащихся могут слу
ж ить задания на п ридумывание примеров и
контрпримеров вводимых понятий. При этом
не следует ограничивать уча щихся лишь об
л астью геометрии. Соответствующие примеры
могут быть житейскими и арифмет.И ко-алгеб
р аическими.
Особо остановимся на «Перестройках» за
дач : они, как п равило, должны входить в за
ключительный этап р а боты с задачей, о ко
тором говорилось выше.
По вопросу о «перестройке» мы ограничим
ся лишь отдельными замечаниям.и . Н ередко
решенные задачи могут естественно перера
стать в но.в ые. Рассмотри м з адачу:
Докажите, что высоты, проведенные из вер
шин при основании равнобедренного треуголь
ника, конгруэнтны. Верно ли аналогичное
свойство для .медиан и биссектрис?
Ее можно дополн ить предложен.не м : дока
жите конгруэнтность соответствующих отрез
ков, отсекаемых на боковых сторонах тре
угольника, основаниями высот ( медиан, бис
сектрис) .
Для н екоторых з адач полезно составлять и
решать «обратные» им. Например, для толь32
ко что упомянутой задачи «обратными» будут
такие:
Докажите, что треугольник равнобедреiтый,
если: 1 } две его высоты конгруэнтны, 2) кон
груэнтны две его медианы, 3) конгруэнтны две
биссектрисы.
Из них задачи 1 ) И 2) решаются несложно,
а последняя вряд ли доступна даже способ
н ы м учащи мся VI класса.
В учебном пособии мало задач, задаюших
опр еделенные соотношения между элемента
м и фигур , н о не содержащих требования (так
н азываемых н еполных задач ) . Сам учитель
легко может некоторые обычные задачи пре
вратить в неполные, сохранив данные и за
менив требование вопросо м : «Что можно до
казать ( вычислить) ?»
Большой дидактический смысл неполных
задач в том, что они п риучают ш кольников
не только доказывать ( вычислять, строить)
предлагаемое задачей, но и догадываться,
« видеть», что может быть сделано. Такие на
выки особенно ценны для поисков решений.
Для акти визации учебной деятельности по
лезно также рассматривать задачи с недоста
ющими данными и переопределенные. Опре
деленной обычно называется такая задача, в
которой данные элементы вполне определяют
р ассматриваемую фигуру и по ним ( вообще
говоря, однозначно) могут быть н айдены (вы
числены, построены ) искомые элементы или
сама ф игура . Но может оказаться и так, что
данных в условии элементов фигуры недоста
точно для получения однозначного ответа н а
поставленный вопрос. Простой пример задзч
этого рода - построить ромб по его высоте.
Т акие задачи обычно и меют бесконечно мно
го решений и н азываются н еопределенными.
Переопр еделенные задачи (с избыточной
и нформацией) содержат лишние данные, ко
торые могут ока заться согласованными с ос
талыIЫми, но могут и прот.иворечить им. В пер
вом случае задача и меет р ешение, во вто
ром - не и меет.
З адач, о которых мы сейчас говорим, в
учебном пособии очень мало, но они нужны.
Решая их, учащиеся будут накапливать зна
ния об определяемости р азличных фигур (ок
ружности, треугольника, четырехугольника
и т. д.) . Составление таких заданий учителя
з атруднить не может.
Второй п ринцип, тесно связанный с пер
вым,- это принцип возбуждения и поддержа
ния интереса учащихся к решению задач.
Что же возбуждает и дела ет устойчивым
и нтерес учащихся к геометрическим задачам?
П р ежде всего - вся постановка работы с
з адачами. Если ученик видит свои успехи,
Основное в организации пндивидуаJiьной ра
свое продвижение вперед, если и м еются б.па
гоприятные возможнl1сти для прояв.пения ак боты с учащимися по решению задач - кон
тивности и самостоятельности, если р абота кретное зн ание учителе м состояния умений
удовлетворяет, то ученик будет считать реше школьни ков и степени овладения изученным
ние задач нужным и интересным. А инте материалом. Только н а этой основе можно
рес - один из важнейших стимул ов учения. с меньшими затратами сил и времени доби
Бла гоприятная обстановка для р аботы с за ваться успешного п родвижения вперед всего
дача ми создается прежде всего хорошей ме состава класса.
Хорошо известно, что у разных учащихся
тодикой, уважительным отношением учителя
ко всем учашимся, увлеченностью делом. Но по-разному протекает усвоение изучаемого н а
уроках, различны быстрота «схватыв ания» и
и здесь нельзя пол агаться на формирование
такой обстановки «самотеком». Из специаль закрепления нового, предшествующая подго
ных мер, возбуждающих и поддерживающих товка, владение навыками и умениями. В се
интерес к задачам, можно н азвать р ассмот это требует индивидуального подхода .
В учебном пособии, вообще говоря , даны
рение з адач на практическое при менение гео
метрии (нахождение н едоступных для непо задачи в р асчете на так называемого «сред
средственного измерения расстояний, высот него» ученика. Но ничто не мешает и з м енять
предметов, осложненные п р епятствиями пост их условия так, чтобы п олучались однотип
роения на местности и т. д.) и работу с зада ные задания для учащихся, которым требует
чам и, более интересны ми по содержанию, ся большее число упражнений. В качестве
форме и методам решений. Учащихся могут пример а возьмем з адачу l из п. 4 ( « Геометрия 6») .
заинтересовать, например, з адачи-вопросы :
l ) Существует ли точка круга, через кото
Три различные точки К, L и М лежат н.а
рую проходит бесконечно много конгруэнтных одной прямой. I KL l = 6 см; I LM l = I O cAf .
между собою хорд? 2) Сколько получится Каким может быть расстояние I KM I ? Для
всего треуголышков, если в выпуклом четы каждого из возлюжных случаев сделайте со
рехуголышке построить его диагонали? 3) ответствующий рисунок. Эта задача, как и
Приведите примеры фигур, имеющих беско многие другие, допускает составление в слуне1то шюго: а) центров си/dметрии, б) осей . чае необходимости н ескольких а налогичных
симметрии, в) центров и осей симметрии.
ей. Достаточно изменить числовые данные.
Известен прием возбуждения большего ин
Для индивидуализации учебной р аботы с
тереса к задаче, состоящий в придании ей за задачами существенн а также возможность во
нимательной формы. Рассмотрим з адачу :
м но гих случаях пониж ать их сложность. По
Постройте точки, находящиеся на расстоя нятие сложной (трудной) задачи в значитель
нии а от данной тоцки А и на расстоянии Ь ной степени субъективно. Его обычно тракту- ·
от другой данной точки В. Ее можно сфор му ют. как синоним затрудненности поиска ре
.JJ и ровать иначе.
шения. Основная возможность понижения
более
{составление)
На спортивных соревнованиях два органи сложности - подбор
затора имеют усилители речи. Команды одно простых поясняющих задач, подготавливаю
го из них слышны на расстоятши, не превы щих учащихся к решению сложной. Так, для
шающем 40 м от него, а колtанды другого - задачи о бi�ссектрисе внешнего угла при вер
на расстоянии 50 At. Изобразите рисунками, шине равнобедренного треугольника подгото
где будут слышны команды: а) обоих орга вительны ми могут быть, например, такие:
низаторов, б) только первого; в ) только вто
Сравните внешний угол при вершине рав
рого; г) не слышны команды ни одного из них нобедренного треугольника с углолt при его
(если расстояние между ними : 60 м, 40 м, основании.
Ш м, О м) .
Докажите, что биссектрисы смежных углов
Практика обучения геометрии подсказыва перпендикулярны.
ет также, что интерес возбуждают задания н а
Возможны две последовательности р ассмот
нахождение ошибок в доказательствах и ре рения подготовительных и породившей их з а
шениях задач, в частности р азбор софизмов. дач. Можно постепенно «ПО ступенькам» под
В VI классе такие з адания по н еобходи мости готовительных задач подойти к основной или
должны быть очень элементарными. Разбор н а ч ать с основной и для нее искать и решать
софизмов можно рекомендовать н е р ан ее чем подготовительные. Н аверное, возможны оба
в VI I классе.
пути. Отметим только, что второй из них учит
Рассмотрим принцип индивидуализации ра ш кольников подступаться к решения м более
боты учащихся с задачами и сочетания кол сложных задач, вооружает их одни м из наи
лективной работы класса с индивидуальной. более сильных приемов поиска решений.
·
2
М а 'l' е м u т и к а n Ш! О . Но при этом должно
быть Ь < 1 .
Утверждение доказано.
Заключительные замечания. Эюаменацион
ная комиссия несколько переоценил а возмож
ности поступавших, поскольку их знания ока
зались по ряду р азделов программы слабее,
чем мы ожидали и чем они были в предыду
щие годы. Имеются серьезные пробелы в зна
н и ях по геометрии ( в том числе по планимет
рии ) , решении алгебра ических и тригономет
р ических уравнений, составлении уравне1шй
по условию задач, решении неравенств, прове
дении тождественных преобразований, обра�
щении со знаком абсолютной величин ы..
Вызывает удивление, что с первыми тремя
задачами {они были на всех ф а культетах не
сложные) не могли справиться многие посту
павшие, были среди них и те, кто получил в
школе аттестат с отл и чием.
В то же время заслуживает упоминания тот
факт, что отличные оценки за письменные р а
боты получили выпускники н е только москов
ских школ, но и школ других мест Советского
Союза.
Хотелось бы выразить н адежду, что переход
средних школ на новую прогр амму по м атем а
тике не только повысит идейную сторону м а
тематической подготовки, но и н е снизит фор
м альных навыков.
Б. В. Гнеден ко
(Мо ск в а)
МАТЕМАТИЧЕСКИй ФАКУЛЬТЕТ
МГПИ ИМ. В. И. ЛЕНИНд.
Н а письменном экзамене по м атематике бы
ло предложено 1 0 вариантов, каждый вариант
содержал пять з аданий: 1 ) алгебра ическая за
дача на составление уравнения или систем ы
уравнений; 2) тригонометрическое уравнение;
3) показательное ура внение или логарифми
ческое неравенство; 4 ) стереометрическая за
дача; 5) планиметрическая задача .
В ар ианты были составлены т а к, что пер
вые три задания были стандартными, р ассчи
танными на выпускника школы со средней
подготовкой. Две последние задачи ( геометри
ческие) были также нетрудными, но 1'ребова
ли определенного уровня геом етрического
мышления.
Результаты работы следующие: из 307 по
ступавших (на 1 75 мест) оценку «5:i> полу
чили 23, оценку «4» 8 1 , оценку «3» - 1 38,
оценку «2» 65. 209 абитуриентов не решили
планиметрическую, 202 стереометрическую
задачу. Логарифмическое неравенство не ре
шили 87 поступавших, тригонометрическое
уравнение - 1 00, с алгебр а ической задачей не
справились 83 человека. 27 абитуриентов не
сумели выполнить ни одного из предложен
ных заданий.
Рассмотри м типичные ошибки, допущенные
абитуриентами в п исьменных работах.
1. Абитуриенты неправильно называли угол,
под которым образующая конуса видна из
центра шара, вписанного в конус; вместо угла
SO'А чаще всего брали угол SЛ О ( рис. 1 ) .
I I . Неверно строили линейный угол двугран
ного угла. Много ошибок бьто допущено в по-
5
строении сечений куба
или пирамиды задан
ной плоскостью.
П р и м е р 1. В кубе
A B CDA 1 B 1 C 1 D 1
через
вершину В и середины
М и N ребер AD и СС1
проведена плоскость.
Найти угол, под которым эта плоскость наРис.
клонена к плоскости
грани A B CD.
Нужное сечение BMPN (рис. 2 ) , где К =
= ( ВМ) П (DС) , P = (KN) П (DD 1 ) . Линейным
углом двугранного угла ВМ является угол
NFC, где F = ( СЕ ) П (МВ) , Е - середин а [АВ ] ;
так как
( FC) J_ ( ВМ) , следовательно, и
(NF) J_ (BM) (по теореме о трех перпендику
лярах) . Очень часто в качестве сечени я посту
пающие брали д BMN! В качестве линейного
угла двугр анного угла ВМ многие указывали
угол NBM.
Рис. 2
-
-
-
П р и м е р 2. В кубе A BCDA 1 B1 C 1 D 1 qерез
диагональ А С основания A B CD и середины М
и N ребер A 1 D 1 и D 1 C 1 проведена плоскость.
Найти угол, который составляет эта плоскость ·
с плоскостью грани DD 1 C1C куба.
Пусть К - середин а [СС 1] , (DK ) .L (NC) ,
(DK) П (NC) = F (рис. 3) ; искомый угол AFD.
Почти н икто и з а битуриентов не. назвал этот
угол, чаще всего н азывали и определяли вели
чину угла NCA .
П р и м е р 3. В правильном тетраэдре SAB C
через вершину С проведена плоскость, перпен
дикулярная грани SAB и параллельная (АВ).
5 1.
s
Рис. 3
Найти площадь полученного сечения, если реб
ро тетраэдра имеет длину а.
Так к а к тетраэдр п равильный, то основани
ем высоты СН, проведенной из вершины С, яв
ляется центр правильного Л ABS ( рис. 4) . Се
кущая плоскость проходит через эту высоту и
пересекает плоскость ABS по прямой А 1 В1,
п а раллельной
(АВ ) .
Искомое сечение Л А 1В1 С
.
5
основание перпендикуляра, опущенного из
точки С на ( BD) .
I B H I : I HD I = 1 вс 1 2 : I CD l 2= a2 : 3a2= 1 : 3.
П р и м е р 2. Основанием пирамиды SABCD
с конгруэнтными боковыми ребрами служит
прямоугольник A BCD со сторонами I AB I = а,
I A D 1 = 2а. Найти площадь сечегtия пирамиды
плоскостью, проходящей через вериtину А, се
редину ребра SC и параллельной (B D ), если
высота пира.миды имеет длину За.
О = (А С) П ( ВD ) ,
С1 - середина
[ SC] ,
Многие поступавшие проводили высоты из
точки С в гранях SBC и SCA и утверждали,
что искомое сечение проходит через эти вы
соты.
I I I . Многие поступавшие неверно определя
ли площадь сечения.
П р и м е р 1. В пирамиде SAB CD основани
ем является
прямоугольник со
сторонами
IAD l = a. Боковое ребро S C
перпендикулярно плоскости основания. Вычис
лить площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через (BD) параллельно (SA),
если (SA) наклонена к плоскости основания
под углом 30°.
F E [S C] ,
О = (ВD) П (А С) ,
( OF) ll (AS ) ,
Л BFD является сечением ( р ис. 5) . Так как
с
I A B l = a Vз,
этот треугольник не р а внобедренный, то высо
той, проведенной к основанию BD, не может
быт ь [ FO] , как это утверждало большинство
решавших эту з адачу.
Необходимо провести (FH) ..L (BD) , где Н 52
А
через 0 1 па раллельно (BD ) . Она пересечет
ребра SB и SD в точках В 1 и D 1 соответствен
но. Площадь сечени я A B 1 C1D1 равна сум ме
площадей треугольников A B 1D1 и B1D1 C 1 • По
строи м их высоты. Проведем в плоскости А В С
(АН) ..l (BD) ,
тогда
I BH / : I HD 1 = 1 : 4;
( HH 1 ) 1! ( S O ) , H 1 e ( B 1 D 1 ) . По теореме о трех
перпенди кул ярах ( A H 1 ) J_ ( BD ) . и так как
Итак,
(AH 1 ) J_ ( B 1D 1 ) .
то
( B 1D 1 ) 11 ( BD ) ,
[A H 1 J - высота Л А В 1 D 1 . ( С1 Н2 ) 11 (АН1 ) , Н2 Е.
Е. ( B 1 D 1 ) , [ С 1 Н2] - высота Л С 1 В 1 D 1 . Многие
поступавшие считали высотами треугольников
[А 01] и [О1 С1 ] .
IV. При решении логарифмических уравне
ний и неравенств абитуриенты неправильно
находили область определения лога рифмиче
ской функции , деJi али ошибки при использо
вании монотонности этой функции при основа
нии логарифм а, меньшем 1 .
П р и м е р 1 . Решить неравенство
l og t " ( 2 х + 1 ) >- log t " ( х2 + 1 ).
Так как
0.
П р и м е р 2. При решении неравенства
I ogзx+2 x < 1
абитуриенты не учитывали область определе
ния логарифмической функции, не рассм атри
вали двух возможных случаев для основания
логариф м а.
V. При решении уравнения
3
зУ-х•
-�3�- = 1 ,5
2 . 3Yx+ I
3
многие поступа вш:1е обозначали 3 vx через
3
z,
получая z2 ра вным 3-Y.r• , что неверно.
VI. Н аблюдались случа и потери корней п р и
решении тригонометрического уравнения в
связи с тем, что поступавшие не учитывали об
ласти определения функuии или д�.1или урав
нение н а выражение, содержащее перемен
ную.
П р и м е р 1 . Решить уравнение
cos 3х + sin 2х + cos x = О.
После тождественных преобразований полу
чаем следующее уравнение:
cos х (sin х + cos 2х) = О .
Отсюда поступавшие переходили к ура внен и ю
sin x + cos 2x = О,
и
п
при этом теряли серию решений х
=
; + 1tn,
Е Z, обращающих в нуль cos х.
П р и м е р 2. При решении ура внения
х
. 2Х
SШ
< Х • tg 2 = SШ
многие
не
учитывали
область
определения
х
tg т ·
V I I . В стречались ошибки и при р ешсшш
простейших тригонометрических уравнений.
V I I I . Планиметрические задачи, как прави
ло, вызывали большие трудности.
Результаты устного экзамена по м атемати
ке следующие : из 239 а битуриентов оценку
«5» получили 58, оценку «4»-85, оценку «3»-80, оценку «2»- 1 5 человек.
Н аибольшие з атруднения поступа ющие ис
пытывали при изложении следующих вопро
сов: 1 ) измерение величин, 2) доказательство
существования иррациональных чисел, 3) рав
носилыюсть уравнений и неравенств, 4 ) дока
зательство три гонометричестшх фор мул и тож
деств, 5) построение графиков функций y =
Ioga (x+2 ) , y = 2sin (3x+л/2) и т . п" 6 ) пре
дел последовательности, 7) вывод формул
при решении простейших тригонометрических
уравнений, 8) прогрессии, 9) степень с р а цио
нальным показателем .
Экзаменаторы отмечают следу1_о щие недо
статки в ответах а битуриентов: 1 ) отсутстви е
четкости в определениях периода функции ,
возр астающей и убывающей функций, четной
и нечетной функций, параллел ьных и скрещи
вающихся прямых, в определениях прямой,
перпендикулярной плоскости, тригонометриче
ских функций ; 2) свойства элементарных
функций абитуриентами не доказываются, а
выводятся и з графика соответствующей функ
ции.
В з а кл ючение приводим некоторые вариан
ты предложенных на экзамене письменных ра
бот.
Вариант 1
1 . Два туриста идут друг другу на встречу из горо
дов А и В, расстояние между которыми 30 км. Если
первый выйдет двумя часами раньше второго, то они
встретятся через 2,5 ч после выхода второго туриста.
Если же второй выйдет на 2 ч раньше, чем первый, то
встреча r1роизойдет через 3 ч после выхода первого ту
риста. Сколько километров в час проходит каждый
турист?
2. Решить уравнение
sin X · Sin Зх
=
2 - 2 cos 2х.
3
(�)х · (J}_)x-1
3. Реши ть н е равенство
9
s
_
-
�
1g в ·
4 . В правильной треугольной пирамиде через центр
основания проведена плоскость, параллельная боковой
грани. Н а йти площадь полученного сечения, если длина
стороны основания данной пирамиды равна а, длина
высоты пирамиды равна h.
5. В равнобедренной трапеции диагонали взаимно пер
пендикулярны. Длина средней линии равна т. Н а йти
высоту трапеции.
В ариант 2
! . Два м астера, р аботая вместе, могут окончить неко
торую работу за 1 2 дней. Если же первый мастер бу
дет работать 2 дня , а второй 3 дня, то они выполнят
только 20% всей работы. За сколько дней может вы
полнить всю работу каждый мастер, работая отдельно?
2. Решить уравнение
3
3 cos2 х
2 tg 2 х + sin2 х 2.
-
3. Решить у ра вн ен и е
Iog y- - (x-2)
х
х
=
= 9.
4 . Длина высоты правильной
п-угольной пирамиды
равна h, площадь боковой поверхности в k раз больше
площади основания. Н а йти объем пирамиды.
5. В диаметрально противоположных точках А и В
окружности проведены касательные t1 и t2• В f.lроизволь
ной точке N окружности проведена касательная, кото
рая пересекает t1 и !2 соответственно в точках С и D.
Доказать, что произведение длин отрезков А С и BD
не зависит от выбора точки N на окружности.
Вариант 3
1 . Потребность колхоза в ячмене 4000 ц. Если увели
ч ить урожай ячменя на 8 ц с. 1 га, то можно будет
уменьшить площадь посева ячменя на 25 га. Сколько
гектаров засеяно ячменем и каков урожай в центнерах
с одного гектара?
2. Решить уравнение
sin2
1
1t
х + 3 s ! n 2 2x = sin б·
3 . Р е шить н е ра венство
2
Iog 1 x - l og 1 х2 ;;;. 3.
3
3
4. Н а йти 1юсинус угла при вершине в осевом сечении
конуса, зная, что на его поверх н ости можно провести
три попарно перпендикулярные образующие.
5. В треугольнике АВС проведена биссектриса A D.
Точки О, 0 1 и 02 являются центрами окружностей,
описанных соответственно около треугольников АБС,
j 002 IABD и A DC. Доказать, что / 001 1
Вариант 4
=
1. Из двух городов, расстояние
между которыми
650 км, отправляются одновременно навстречу друг дру
гу два поезда. Через 10 ч после отправления поезда
встречаются. Если же первый поезд выйдет за 4 ч 20 мин
до отправления второго, то встреча произойдет через
8 ч после выхода второго поеада. К.акова скорость каж
дого поезда?
2. Решить уравнение
cos x
= 2 c os x - tg х.
l - si n x
3. Реш и ть у равнение
1
х+ 2
gx _ 2
7
x+ -
2 _ 32х-1.
2
4. К.аждое ребро правильной шестиугольной призмы
имеет длину, равную 1 дм . Найти площадь се•rения, про52
=
ходящего через сторону основания и большую диаго
н аль призмы.
5. Доказать, что если в выпуклом четырехугольнике
A BCD биссектрисы углов, составленных парами прямых
АВ и CD, ВС и AD, перпендикулярны, то около этого
четырехугольника можно описать окруж11ость.
О. С. Редозубова
(Мо сква)
И ОЧЕРЕДНЫМ
ВСТУ ПИТЕЛЬНЫМ ЭКЗА МЕНАМ В ВУЗЫ
Н ЕОБХ ОДИМО ГОТОВИТЬСЯ
Приемные экзамены в вузы всегда привле
кали внимание педагогической и н аучной об
щественности . По их итогам оценивалась ра
бота школ, они определяли качество попол
нения н аших вузов.
Очередные
абитуриенты
выпускники
1 976/77 учебного года обуч аются по новон
программе и новым учебюшам. Итоги сдачи
ими вступительных экза м енов о собенно важ
ны для оценки результатов коренной перест
ройки ш кольного преподавания м атемат и ки,
осуществленной за последние десять лет.
Трудности а битуриентов очередного набора в
вузы очевидны : они учились по учебным п о
собиям и прогр а м м а м , прошедши м лишь экс
периментальную проверку. Не всегда и не
всюду прошли необходимую переподготов ку
и х учителя. Они не имели дополнительной ли
тер атуры, н аписанной в соответстви и с идея
м и и требованиями новой программы.
И сходя из этого, мы считаем, что организа
ция вступительных экзаменов по м атем атике
в 1 977 г. требует серьезного обсуждения. Ву
зы, школы, общество «Знание» должны раз
вернуть широкий фронт р а боты в помощь бу
дущему
пополнению
вузов. Абитуриенты
должны своевременно, хотя бы не позднее,
чем за полгода до начала экзаменов, иметь
четкую и р азвернутую програ мму вступитель
ных экзаменов. Сотрудники м атем атических
кафедр вузов должны изучить содержание
новой прогр а м мы и учебншюв средней шко
лы. Без изучения опыта р аботы школы по но
вой програ м м е нельзя будет объективно и ка
чественно осуществлять фующии экза менато
ров на предстоящих экзаменах. В нынешних
условиях готовиться к э1жду образующей и основанием.
3. Решить уравнение
5 . 35.r.
3 . 15х + 2 . 3 1 х
s i n 2х - 4 c os 2х
1вариант
1. Сумм а первых пяти членов геометрической прогрес
сии равна 62. Известно, что пятый, восьмой и один1rадцатый члены этой прогрессии являются соответствен1;0 первым, вторым и десятым членами арифметической
прогрессии. Н айти первый член геометрической про
грессии.
2. Д иагонали осевого сечения усеченного конуса вза
имно перпендикулярны, а образующая, равная l, состав
ляет с плоскостью большего основания угол а. Опреде
лить объем усеченного конуса.
3. Решить уравнение
l ogx + з (3 -
y l - :2х
)
+ х2
4. Решить уравнение
sin бх + 2
=
l
=
2. ·
б) Отделение
4.
+ l og 2
Решить у рэ в н е н и , «независимость аксиом> имеется в
школьном учебном пособии «Геометрия 8», с. 93-97.
См. также [ ! ) , [2 ] , !3] .
34'
жение р множества пар точек ТХ Т в м ноже·
ство неотрицательных вещественных чисел R+
(значение функции р, соотnетствующее паре
точек А и В, будем называть р асстоянием от
А до В и обозначать р (А , В ) ) 2 •
Совокупность < Т, N, р > н азывается пло
скостью Лобачевского, если для этой совокуп·
ности ,Jерны следующие а ксиомы ( ер. [4] 1
С. 88-93, ИЛИ [ 5] , С. 1 1 2- 1 1 3) :
I. Аксиомы прин а дл ежности
I 1 . Каждая прямая есть множество точек.
1 2 . Для любых двух отличных друг от дру
га точек существует одна и только одна со
держащая их прямая.
Iз. Существует хотя бы одн а прямая, и каж
дой прямой принадлежит хотя бы одна точка.
II. А ксиомы р а сстоя ния
I I 1 . Каковы бы ни были точки А , В, рас
стояние р (А , В) = О в том и толькn том случае,
если А = В.
I I 2. р ( А , В ) = р (В , А ) .
I I3• Для любых трех точек А , В, С р (А, С ) �
� р (А , В ) + р (В, С ) .
I I I . А ксиомы порядка
I I I 1 . Любая точка О прямой р разбивает
множество всех отличных от О точек прямой р
на два непустых множества так, что: а ) для
л юбых двух точек А и В, принадлежащих р аз
ным множествам, точка О J1 ежит между А
и В ; б ) если точки А и В принадлежат одно
му и тому же множеству, то одна из них ле
жит между другой точкой и точкой О.
I I I 2 . Для л юбого р а сстоя.ния а на з аданном
луче с началом О существу�т одн а и только
одна точка А, расстояние которой от точки О
р авно а: р ( О, А ) = а.
I I Iз. Если точка С лежит между точками
А и В, то точки А , В, С прин аддежат одной
прямой.
I l l4. Л юбая прямая р, л ежаща я в плоско
сти а, разбивает множество не принадлежа
щих ей точек этой плоскости на два непустых
множества так, что: а ) л юбые две точки, при
н адлежащие р а зным множествам , р а зделены
прямой р ; б ) любые две точки, принадлежа
щие одному и тому же множеству, не р а зде·
лены прямой р.
IV. Аксиом а подвижно сти пл оскос ти
Если расстояние р (А , В ) положительно и
р авно расстоянию р (А 1 , В 1 ) , то существуют
2 Для евклидова расстояния от А до В сохраним
обозначение 1АВ 1 . Что касается точек, прямых, отрез
ков и т. д" то из текста будет ясно, о каком понятии
(евклидовом или в смысле нашей модели) идет речь.
67
два персмещенЕя, ка ждое из которых отобра
жает точку А на точ ку А1, а точ ку В на точ
ку В1• Если а 1 - полуплоскость. огр аниченная
п р я м ой АВ, то она эти м и перемещениями ото
бражается на две различные полуплоскости
131 и р2 , о гр а ни ч енные прямой А 1В1.
V'. Аксиома параллел ьных Лобацевского
Через точку А , не принадле жnщую пря мой р ,
проходю не м енее двух п р я м ы х , нс п ересе
кающих р.
П р и м е ч а н и я. 1 ) Ради удобстпа изложе
ния м ы считаем р (А, В) веществе нным чис:
лом. Это не противор ечит то му, что ( к а к п р i !
нято в ш кол ьн ы х учебных пособиях) р ассто н
ние я вJiяется вел и ч и ной. 2) Понятия «леж ать
между», «луч», «полупло скость» . «перемещ е
ние» и т. д" впедение которых не связано
с а ксиомой V' J1обачеrз с:кого, определя ются так
ж е, как и в ш кольном курсе. 3) Аксиому IV
мы использу ем в более сл абой по сравнени ю
со школьн ы м учебным пособием форме, по
стули руя лишь существ ование хотя бы двух
соответс твующих перемещ ений; то, что число
таких перемещ ений не более двух, можно до
казать ( с м . \7] ) .
3. Поt:троим интерпрет ацию плоскости Ло
бачевско го. Рассмот ри м в евклидов ой плоско
сти окружно сть (!) с центром в точ ке О и ра
диусом R. Пусть Т - множ ество внутрен них
точек М круга, границей которого является
окоужност ъ (!) (Т = {М 1 1 ОМ 1 < R } ) ; N - мно
жество евклидов ых открыты х отрезков ] P Q [
( хорд) , концы которых принадл ежат (!).
За расстоян ие между точками А и В примем
число lg
:��\:\�Z\ , где { Р, Q} = ( АВ) n ш, и при
этом точка А располож ена (в евклидовом
смысле) между точками Q и В (что в дальнейшем будем обозна чать Q AB), а точк а В
ыежду А и Р (АВР) (см . рис.
сокращенное обшвачение
/А Р/ IQBI
= ( ABPQ)
IPВI
·
·
/AQ/
И та к,
p (A , B ) = l g (A BPQ) , где
{Р, Q } = ( А В ) n w,
Рис.
1
QА.в, АЁР,
1 ).
•
Введем
(l )
( 2)
Рис. '2
а
68
Теперь следует провер ить выполнимость
приведен ных выше аксиом 1 , I I , I I I , IV, V'.
Спра ведливость а ксиом 11, 12, 13 очевидна ,
ибо пряма я в на шей модели представляет со·
бой открытый отрезок на п рямой в плоскости
Е вклида.
II 1 • Если А = В, то из ( 1 ) и (2) находим,
что (ABPQ)= 1 , р (А, В)=
Если А =/= В, то из условий АВР и QAB
следует, что
О.
! АР\
! AQ I
\ QB I
l
I PB I > ,
.
.
< l.
Следовательно, (A BPQ) > 1 , откуда р ( А , В) >
> О.
А, В, .Р, Q (рис. 1 ) имеем
BAQ и РВА. Поэтому в силу нашего согла
шения
р (В, А ) = lg (BAQP).
!12 Для точек
Н о (BAQP)=
11��1,_1 ��: = (ABPQ).
Отсюда
р (В, А ) = р (Л, В).
Для проверки а ксиомы II3 предварительно
докажем д ве леммы.
Л е м м а 1 . Если А лежит между Q и В , В
лежит между А и Р, Р1 лежит между В и Р,
то (ABP1Q) > (ABPQ).
Обозна чим 1 АР1 1
Л, 1 ВР1 1= р., ! P1P I 8.
В силу условия имеем Л > {J. . Отсюда следует,
что
(3)
=
=
В са мом деле, так как Л ,
f1,
() положительны, то
(Л > р.) => (Л() > p.i)) => (Лр. + Л() > Лр. + p.i)) �
=> (Л (р. + ()) > f1 (Л + ())),
откуда и выт екает нера венство (3).
Используя (3), получаем из (1 ) :
( .r\ BPQ )
=
1 AP \ · \ Q B \
I PB [ · I AQ I
л+&
- p. + r,
_
=
.
1 + ! Р1Р \ .
= \1 АР1
I P1B I
PP1 l
\ QB !
I AQ I
+
( АКИТ);
(К А Т'И') > ( К А ТИ '), или
�
�
�-
=
( А КИ'Т') > ( А К И'Т).
(9)
Из соотношений (7), (8), (9) получа ем
(ABPQ) > ( А КИ Т).
( 1 0)
Пrоектируя из тсго же центра D точки пря
мой SR на прямую UT. полу чим (BCSN)
( K C U'T'), а затем, используя лемму 1 , а на
логично предыдущему выведем, что
(1 1)
(BCS R ) > ( KCUT).
Теперь перемножим неравенства (1 О) и ( 1 1 )
( все их члены положительны):
=
=
( A BPQ) · ( BCSR) > ( А К UT) - ( KCUT).
Отсюда после логарифмирования
р ( А, В) + р (В, С ) > р (А , К ) + р (К, С).
Так ка к имеет место А КС , то, учитыва я по
лученное в случа е 1 соотношение, п риходим
к требуемому :
р ( А , В) + р ( В, С) > р ( А . С).
Пров,� рка справедли вости а h сиомы Il3 за
вершена.
Из р а сс мотрения случ аев при проверке
аксиомы I IJ вытекает также, что для различ
ных точек А , В, С
.
( А ВС) � ( р ( А , В) + р ( В , С ) = р ( А , С)).
А это озн а чает, что отношение «лежать м еж
ду» длл точек (а значит, и производные поня
тия «точки р а зделены пря мой» и т . п.) в наD
Р ис . 4
Рис. 3
1 Ес ли окажется, что
П (PS), то испо.1ьзуем па
раллеJ1ьное п роектирование в направлен и и (VR).
(QR)
С9
шей м одели и в евклидовой плоскости совпа
дают.
Отсю.1.а следует. что аксиомы I l l 1 и I l l 4
с п р аведливы и в нашей модели, поскольку они
верны �з евклидовой плоскости. Из предьщу
щей же проверки а ксиомы I I:'I непосредствен
но вы текает и справедли вость аксиомы I I I з.
Несколько сложнее проводится
проверка
а ксиомы I I I2. Убедимся в ее справедл ивости.
Пусть дано число а ? О. Тогда 1 0" ? 1 . З а
фик сируем н а хорде Q P точку А ( рис. 1 ) . И з
двух «лучей» ( в смысле н а ш е й модел п) [A Q )
и ( А Р) выберем один, скажем [А Р ) . Пусть
далее I A Q ! = c , I A P l = b. Если теперь некото
рая точ .t< а В опи с ы вает хор ду ] Q P 1 в на п р а в
.а ении :У1 Q к Р , то отношение /" = 1 QB 1 : 1 В Р 1
возрастает и при этом может прнни м ать л ю
бые положительные значения ( 0 ·< 1'. < = ) .
В частности, Л
=
Положим Л 0 = 1 оа
с
-ь-
�
при В �= А .
- . Тог да для соответ
ствующего этому зна чению Л0 положения точ
ки В имеем
Ьf.,о
1 0а
( ABPQ) = I AP l · I QB I
Отсюда
р (А,
·
1 РВ 1 · 1 AQ 1
В) = Ig 1 Оа
=
=
а.
с
=
•
Для проверки выполнимости а ксиомы по
движности плоскости ( а ксиомы IV) достаточ
но показать существование двух перемещений
с требуем ы м и свойствами. Для этого будут
и споJ1 ьзов а н ы некоторые фа кты проективной
геометр и и ( о них можно прочесть, например,
в [ 1 ] , [6] ) Перемещением в нашей модели
в соответствии с определением является пре
образование множества Т в !:! утренних точек
круга с границей ш, при котором сохраняется
р а сстояние р .
Дополним каждую прямую евклидоной пло
скости а , в которой р а с положена окруж
ность ю , точкой ( н азываемой несобственной )
и будем считать далее, что м ножество всех
таких ( несобственных) точек есть несобствен
ная прямая l. Множество а U l называется рас
ширенной плоскос1 ью (она является одной из
м оделей проективной плоскости ) .
По условию аксио м ы IV имеем р (А , В ) =
= р (А 1 , В 1 ) > 0. Пусть А и В принадлежат
прямой PQ ( ри с. 4) , а А , п 8 1 - прямой P , Q 1 .
ПDоведем
в точках Р и Q ка сательные
'
к окруж ности ю , их точку пересечения обозна
чим через С (если касательные параллельны,
то точка С - несобственная) . Аналогично по
лучен а и точка С, ( рис. 4 ) . Пусть далее
( СА ) П (J) = {D , D '} , ( С 1А 1 ) П ю = {D 1 , D' 1 } .
Преобразование п роективной плоскости,
отобража ющее прямые на пря мые, -называет
ся колдинеацией. Известно, что коллинеация
70
вполне определяется двумя соответствующими
ч етверками точек ( причем в каждой из четве
рок НИt(акие три точки не должны лежать на
одной прямой ) . О предели м коллинеацию k 1
так, Ч'Гuбы
k1 (Р)
Р 1 , k , ( D ) = D 1, k1 ( Q ) = Q1 , k 1 ( С) = С 1 •
( 1 2)
В этой коллинеации окружность ю отобра
жается н а себя. В самом деле, известно, что
1�оллинеацин отображает кривую 2-го порядка
на криаую 2-го порядка (а окружность являет
ся кри вой 2-го порядка ) . Кроме того, тре:v1я
точками и касательными в двух из этих точек
к ривая 2-го порядка определяется однозначно.
В дан !-:! ом сл учае Р -+ Р1, Q -+ Q 1 , D -+ D 1
( см . ( 1 2) ) , и при этом k 1 о rображает каса
тельные (РС) и ( QC) соответственно на
( Р 1 С1 ) и ( Q , C , ) . Ита к, в k1 ю -+ ю.
Далее, коллинеация k 1 отображает внеш
нюю дJIЯ ffi область на внешнюю, ибо через
всякую внешнюю точку М можно провести
к ffi две касательные, которые k , отобразит
на касательные к ffi . Соответствующая точ
ка М 1 буде r пересечением этих касательных,
а стало бьп ь , внеш ней точкой для ffi. Отсюда
вытекает, что и внутренняя обла сть для (t)
( м ножество Т) отображается коллинеацией k1
на себя.
Теперь заметим, что если точки Е, F, М, N
лежат н а одной прямой , а k 1 ( Е ) = Е1, k 1 (f) =
= F1 , k 1 (M ) = M 1 , k 1 ( N ) = N 1 , то
--+
---+
- ->
ЕМ .. EN = Е,М, . E1N1
( 1 3)
---+
.
F,N,
F,M,
FN
FM
(Этим равенством выражается инвариантность
при колл инеации так называемого двойного
отношения четырех 1.'очек прямой.) Из ( 1 3)
получаем
I EM / · / FN I
/ E1M1 l · /F, N, j
I FM l · I EN l - I F, M, / · IE,N, /
Если счи1 ать, что Е и F суть внутренние
точки ffi, а {М, N} = (ЕF) П ro и при этом NEF,
.
EFM, то получим
р (Е, F) = р (Е1, F 1 ) .
Таким обр азом, коллинеация k1 предстаn
ляет собой для нашей модели перемещение.
В этом перемещении k1 ( А ) =А 1 , так ка к
( P Q ) --+ ( P 1 Q 1 ) , ( CD ) --+ ( C 1 D 1 ) , а ( P Q ) (l
В 1 , поскольку по
П ( CD ) = А . Далее, k 1 ( В )
условию р (А , В ) = р (А 1 , В 1 ) , а точка k1 ( B )
должна лежать на «луче» A 1 Q 1 ( ибо переме
щение сохраняет отношения порядка) ; на осно
вании же аксиом ы I I I 2 точка k1 ( В ) - един
ственная.
Кроме того, в силу «порядковых» свойств
перемещений «полуплоскость» ( в нашей мо
дели) -х1 с границей (А В ) ( м ножество точек
=
-�
- -+
�
__ __,.
_
•
=
.
сегмент� PQD без точек дуги PQ) отоо р а
жается при k1 на « п ол упл о с ко сть » (3 1 ( с е г м е нт
P 1 D 1 Q 1 без ду ги P 1 Q 1 ) .
Итак, показано
существование
перемеще
ния k 1, удовлетворяющего аксиом е IV. Д ругое
перемещение k2 с требуе м ы м и свойств а м и ест ь
коллинеаuия, задаваемая четверками точек С ,
Р, Q, D и C1 = k2 ( C) , P 1 = k2 ( P ) , Q 1 = k2 ( Q ) ,
D; = k2 ( D ) . Проверка выполн и мости а ксио мы I V завершена .
Након ец, верн а и аксиом а параллельности
Л о б а ч е ., ского У'. Чтобы в этом убедиться, до
статочно взгля нуть на ри с. 5, на котором « П р я
мые» РМ и NQ прохо
Рис . 5
дят через точку А, но
не имеют общих точек
(эл е м ентов Т) с «пря
м ой » PQ.
4 . Построив м одель
плоскости Лоба чевско
го на плоскости Евклида, м ы тем самым по-
Б. м. nоnяков
(г. Ташкент)
ИЗ ОПЫТА ОРГАННЗдЦНИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ ЧЛЕНОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ФАКУЛЬТАТИВОВ
На протяжении многих лет в ряде средних школ
г. Ташкента мы ведем для учащихся IX-X классов
разработанный нами двухгодичный факультативный
курс .:Избранные вопросы матем атики - IX, Х» ( 1 28 ч) .
На занятиях мы стремимся показать учащимся, что
математика - не скопление правил и формул, не набор
головоломок, решаемых какими-то искусственными прие
мами, а живая непрестанно развивающаяся наука,
неразрывно связанная с развитием других областей зна
ний и человеческого общества. Поэтому в ходе факуль
тативных занятий мы уделяем большое внимание вопро
сам зарождения и становления некотор ых р азделов
современной математики, истории развития идей, опре
деливших современное содержание того или llнoro из
этих разделов, раскрытию перед учащимися творческо
го и нравственного облика некоторых выдающихся уче
ных-математиков, самоотверженно служивших науке
и человечеству.
В ходе занятий ч.1ены факультатива слушают лекции,
участвуют в практических занятинх и дискуссиях, no
рекомендованной нами литературе готовят краткие вы
ступления и сообщения, план и тезисы которых предва
рительно согласовывают с преподавателем.
В начале учебного года члены математического фа
культатива Х класса получают темы докладов, посвя
щенных первому знакомству с определенными раздела·
ми
математики. На протяжении учебного года, nоль
зуясь материалами лекций, а также рекомендованной
нами научно-популярной литературой, они по опреде
ленному плану готовят к теоретической конференции
развернутый доклад - итог самостоятельной работы по
изучению определенного раздела современно�{ математи
ки. Эти доклады красочно оформляются.
казали, что геометри я Лобачевского непроти
воречива, если непротиворечива геом етрия
Евкшщэ.. Кром е того, м ы одновременно у б е ж
даемся и в независимости а ксиомы п а р аллель
ности Евклида ( а ксиом ы У) от остальных
аксиом р а сс м атриваемой системы. При этом
имеется в виду, что известна модель ( арифме
тическая ) ге о м етрии Е вклида, в которой вы
полняется акси о м а V.
Л и тература
1 . Ефимов Н. В. Высшая геометрия. М., «Наука», 1 97 1 .
2. Делоне Б . Н . Элементарное доказательство непро
тшюречивостн планиметрии Л обачевского. М., Гостех
юдат, 1 956.
3 Кос1ин В. И. Основан и я геометрии. М., Учпедгиз,
1 948.
4. Геометр;�я 9. Под ред. 3. А. Скопеt�а. М., «Просве
щенпе».
5. Геометри я 8. Под ред. А. Н. Колмогорова. М.,
«Просвещение».
6. Буземан Г., Келли П. Проективная геометрия и
проективные метрики. М., Изд. иностр. лит., 1 957.
7. А брамов А . М. Логические основы курса планимет
рии. «Математика в школе», 1 974, № 5.
Так, например, итоговым занятием матс�1атического
факультатива десятых классов школы № 1 47 была ма
тематическая конференция на тему «Первое знакомство
с современной математикой», на которой каждый
докладчик - член факультатива не более чем за 1 5 ми
нут изложил суть подготовленного им доклада. На лис
тах ватм ана заранее были подготовлены чертежи и таб
лицы, использовавшиеся в докладе. Тезисы докладов
и тексты некоторых выступлени й были помещены в спе
циальном ученическом сборнике.
Доминирующим в каждом докладе был исторический
аспект. Например, в докладе «Первое знакомство с тео
рией множеств» не повторялись известные из п ро
граммного материала вопросы, а рассматривалась проб
лема сравнения б.есконечных множеств, отправляясь от
которой докладчик рассказал о вкладе Г. Кантора в ре
шение этой проблемы, о значении теории м ножеств
в современной математике, о новых проблемах обосно
вания математики и аксиоматизапии отдельных ее об
ластей, появившихся на базе теории множеств, о воз
можности по-новому осветить различные вопросы клас
сической м атематики. Были рассмотрены и парадоксы
теории множеств. В заключение докладчик изложил
проблему континуум-гипотезу и решение этой проблемы
П. Коэном.
Темы других докладов конференции: «Первое знаком
ство с теорией чисел», «Первое знакомство с киберне
тикой:. и т. д. Наиболее интересными из них оказались:
.:Первое знакомство с топологией» и «Первое знаком
ство с теорией групп». Приведем планы этих докладов
1 1 использованную докладчиками литературу.
!. Первое знакомство с тополо�ией
1 ) Примеры, п риводящие к понятию предмета топо
логии.
2) Основные понятия топологии.
а) Предмет топологии,
б) nростейшие топологические инварианты,
в) топология поверхностей.
3) Теоретико-множественная топология .
а ) Абстрактная геометрия. Метрические и тополо·
rические пространства,
71
б) о понятии линии,
в) р азмерность
4) Комбинаторная топология.
а) Некоторые понятия теорни групп,
б ) фундаментальная группа,
в ) группы гомологий,
г) некоторые приложения теории гомологий.
5) Краткий исторический обзор развития топологи11.
Литература
Александров П. С., Ефредювиr1 В. А . О простейших
понятиях современной топологии. М.- Л., ОНТИ, 1 935.
Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Очерк основных
идей тополопш. Матем атическое просвещение. (Новая
серия) . Вып. 2, 3, 4 и 6-й. ,\1., Физматгиз, 1 957, 1 958,
1 959, 1 96 1 .
Делоне Б . JJ., Ефрелювич В. А . Что такое топология?
«Природа», 1 9 68, № 3.
Делоне Б. Н., Ефре;лович в, А. Что такое топология?
«Наука и ЖИЗНЬ», 1 970, № 8.
Ефремович В. А. Основные топологические понятия.
Энциклопедия элементарной м а тематики. Книга 5-я. М.,
«Наука», 1 966.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое м атематика. Гла
ва V. М.- Л., Гостехиздат, 1 947.
Нейман А. Радость открытия. М., «Детская литера
тура», 1 972.
Стинрод Н., Чинн У. Первые понятия топологии. М.,
«Мир», 1 967.
I I . Первое знакомство с теорией групп
1 ) Возникновение проблемы разрешимости алгебраи
чес1шх уравнений в радикалах.
2) Нильс Хенрик Абель, его роль в решении п робле
мы разрешимости алгебраических уравнений в ра
дикалах.
3) Э варист Галуа, его роль в решении проблем ы раз
решимости алгебраических ура внений в радикалах.
4) Примеры, приводящие к понятию группы.
5) Аксиоматическое определение группы 11 некоторые
непосредственные следствия.
6) Группы преобразован11й в геометрии.
7) Группы в алгебре.
8) Группы симм етрии.
9) Идея применения теории групп в физике. Аналоги
теории Галуа.
10) Задача Ш афаревича.
Литература
Александров П. С. Введение в теорию
Учпедгиз, J 95 1 .
групп.
М"
Баумгартнер Людвиг. Теория групп. М.- Л ., Гостех
издат, 1 934.
Виленкин Н . Я., Яглом И. М. Теория групп и школь
ная м атематика. Сб. «Новое в школьной м атематике�.
М., «Знание», 1 972.
Гроссман М., Магнус В. Группы и их графы. JV\.,
·к.\1\.ир», 1 97 1 .
Галуа Эварист. Соч. М., Объединенное научно-техни
qеское издательство НКТП СССР, 1 936.
Дальма А. Эварист Галуа - революционер и м атема
Т!II 0
] - оо; 2
[
] 3; +
n E N , п+1 ,
7
а > О.
Предс тавьте в в и де к вадрата (х > О)
вырижения:
1
3
х -3
х-9
с верху
4 , 8-.< ! немецких математиков Вебера и Вель
штейна. «Энциклопедия» была написана на высоком
научном уровне, знакомила
читателей в популярной
форме с современной математической наукой. Перевод
с немецкого, редактирование и комментарии выполнил
В. Ф. Каган, ему же приналлежит статья о неевкли
довых геометриях Лобачевского и Рим ана.
Первое издание «Энциклопедии» быстро разошлось, и
спустя два года первый том был издан вторично
(третье издание было осуществлено в 1 927 г.) .
«Матезис» уделял . большое внимание и выпуску книг
по истории м атематики. Большим спросом пользовалась
книга американского математика Ф. Кэджори ( 1 8591 930) «История элементарной математики> ( 1 91 0) с
указаниями на методы пр€подавания с содержательны
ми дополнениями известного историка математики
И. Ю.
Тимченко.
«Матезис:. не забывало и юных любителей матема
тики, учащихся средних учебных за ведений; для них бы
ла издана специальная библиотека по элементарной
м атематике под редакцией С. О. Шатуновского. Впер
вые на русский язык было переведено несколько книг
по занимательной математике.
Издательство «Nl.атезис» выпустило несколько работ
и отечественных математиков: А. Маркова по теории
вероятностей ( 1 9 1 1 ) , В. Ф. Кагана «Преобразование
многогранников» ( 1 91 3) , С. О. Шатуновского «Введение
в анализ» ( 1 923) и русскую математическую библио
гра ф ию проф. Д. Синцова ( 19 1 0) . Большой заслугой
«Матезнс> была широкая пропаганда научного насле
дия гениального русского м атем а тика Н. И. Лобачев
ского. Издательством были изданы две большие работы
В. Ф. Кагана «Опыт обоснования геометрии Лобачев
ского» (т. 1, 1 905) , «Исторический очерк развития уче
ния об основаниях геометрии» (т. I I, 1 907) .
В последнее п ятилетие своего существования ( 19 1 91 924) «Матезис» издало мало книг: сказывалось отсут
ствие бумаги, типографской базы, квалифицированных
переводчиков. Были только повторные издания учебника
Бореля ( 1 923) , Адлера « Геометрические построения»
( 1 924) и некоторых книг по математическим развлече
ниям.
В 1 922 г. по рекомендации О. Ю. Шмидта В. Ф. Ка
ган был приглашен в Москву и назначен заведующим
научным отделом ГИЗа.
Издательство «Матезис» сыграло большую роль в по
пуляризации математических знаний, в повышении уров
ня преподавания в средней и высшей школе в доре·
волюционной России.
ХРОНИКА
*'
95&
ЕЕ
•
О РАБОТЕ НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИХ СЕМИНАРОВ
ПРИ НИИ СиМО АПН СССР
В 1975/76 УЧЕБНОМ ГОДУ
«Ос новные nроблемы преподавания
математики в ср едней школе»
С января 1 976 г. объединена работа семинаров
«Основные проблемь1 преподавания математики в сред
ней школе» и «Методы преподавания геометрических и
графических дисциплин». Руководство объединенным
семинаром осуществляют действительный член АПН
СССР А. И. Маркушевич и действительный член АН
УССР Б. В. Гнеденко. Семинаром «Методы преподава
ния геометрических и графических дисциплин» руководил
с 1 945 по 1 974 r. действительный член АПН РСФСР
Н. Ф. Четверухин.
С объединением семинаров увеличилось число активно
работающих участников. Как и в прошлые годы, раз
нообразен состав участников. Это и учителя средней
школы, и методисты, и преподаватели педагогических
институтов, и психологи. В работе семинара принимают
участие не только москвичи, но и посланцы других
городов (главным образом из областей, смежных с
Московской областью ) , гости столицы, слушатели фа
культетов повышения квалификации.
В текущем году на семинаре были заслушаны докла
ды, в которых освещались актуальные проблемы обуче
ния математике в средаей школе.
Живой интерес у слушателей вызвал доклад академи
ка А. Н. Кол.могорова «Десять лет работы над учебни
ками матема rики средней школы ( 1 965- 1 975 ) ». До
кладчик отметил прогрессивную роль проводимой пере
стройки содержания среднего математического образова
ния, дал критический анализ опыта работы по созда
нию новых учебников. В заключение А. Н. Колмогоров
изложил предложения по совершенствованию учебников.
Старший научный сотрудник лаборатории обучения
математике НИИ СиМО АПН СССР, один из авторов
учебников по алгебре !О. Н. Макарычев в докладе «По
нятие отношения в курсе алгебры восьмилетней школы»
рассказал о подготовке стабильного варианта учебника
«Алгебра 6». Сеоьезное внима·ние в докладе было уде
лено обоснованию целесообразности включения в новое
издание учебника понятия «отношение».
Важные вопросы совершенствования школьного мате
м атического образования были освещены в докладах
старшего научного сотрудника НИИ СиМО АПН СССР
В. В. Фирсова «0 прикладной направленности школьно
го курса математики·» и сотрудника Сибирского отделе
ния АН СССР Ю. А. Первина «О работе группы Си
бирского отделения АН СССР по применению вычисли
тельной техники � школе».
Большой интерес у слушателей вызвал доклад про
фессора педагогического института им. В . И. Ленина
Р. С. Черкасова «0 некоторых общих вопросах методи
ки преподавания математики». В докладе были раскры
ты актуальные проблемы совершенствования методов
обучения математике в средней школе и идеологическая
борьба на методическом фронте.
На семинаре было также заслушано сообщение о ха
рактере перестройки математического образования в на
чальной школе. С ярким и эмоциональным докладом на
эту тему выступил профессор Н. Я. Виленкин.
Проблеме 11одготовки учителя в условиях перехода
школы на новые программы был посвящен доклад
Б. В. Гнеденко «0 специальности учителя математики».
По одной из трудных методических проблем высту
пил с докладом «Критерии оценок знаний учащихся п о
математике» кандидат педагогических наук А . Д. Сему
шин. Докладчик предложил оригинальное решение по
ставленной проблемы. Его сообщение вызвало активное
и деловое обсуждение вопроса о нормах оценок знаний
учащихся по математике.
На заключительных занятиях семинара «Методы пре
подавания геометрических и графических дисциплин»
с докладами выступили доцент Коломенского педагоги
ческого института Н. Н. Шоластер, кандидаты педаго
гических наук А. И. Фетисов и А. Д. Сел·tу шин, аспи
ранты НИИ СиМО АПН СССР А. М. Янченко 11
Д. И. Хан. В этих докладах освещались различные
стороны изучею.;я геометрических преобразований в
средней школе. Интерес представляли как предложении
об изучении преобразований в условиях действующих
программ, так и перспективы изучения геометрических
преобразований в школе.
Л. И. Федорова
(Москва)
«Передовые ндеи в преподавании
математики»
В 1 975/76 учебном году было проведено 5 заседаний,
на которых заслушаны и обсуждены доклады, посвя
щенные вопросам совершенствования среднего матем:�
тического. образовании.
1 5/1 1 976 г. Т. Я. Федотова (г. Тула) доложила
о своем исследовании «Использование математических
структур для осуществлении межпредметных связей».
Основной вывод исследования - введение математиче
ских структур позволяет осуществить единый подход
к изучению многих разделов алгебры и геометрии, что
экономит время на освоение программного материала.
Наибольшего внимания с позиции унификации школьно
го курса математики заслуживают структуры порядка
и группы. В соответствии с этим определился объем
знаний о структурах: бинарное отношение, функцио
нальное отношение, отношения эквивалентности и по
рядка, внутренняя операция и ее свойства, группа, изо
морфизм групп. В методике освоения основных струк
турных понятий автор выделила три этапа математиче
ской деятельности: интуитивно-экспериментальный, этап
теоретической организации материала и этап примене
ния математической теории.
1 2/Il 1 976 r. П. Т. Апанасов (Москва) в докладе
«Построение системы упражнений с экономическим со
держанием в курсе математики средних учебных заве
дений» показал, что экономический материал в качестве
95
Последние комментарии
4 часов 35 минут назад
7 часов 24 минут назад
1 день 17 часов назад
2 дней 2 часов назад
2 дней 7 часов назад
2 дней 10 часов назад